无聊游戏悖论

悖论研究课有人准备讲什么国际象棋诡辩,说象棋是一个无聊的游戏,不过他的推理很成问题。我来加强一番:

我先提供一个略为改变规则的象棋,先看一道数学题:

二步棋:将国际象棋的规则改为每一轮每人可以连续下两步,其余不变。求证:先手方有不败策略。

证明很简单:
反证法。设先手方没有不败策略。即无论先手方怎样走,后手方都可以使之落败。
则先手方第一轮的两步只要把马跳出来再跳回去,等于没走,地位就转变成后手方了,而根据假设后手方必胜。矛盾。因此先手方有不败策略。

这个思路与那位同学的诡辩很类似,但更能够说明问题!因为这是一个严格的数学证明而不是诡辩。关键是运用反证法的非构造证明。联想一下直觉主义者的主张吧——是不是更能体会直觉主义者为什么那么抵触非构造法的证明了?二步棋是不是一个无聊的游戏?类似地,所有的游戏,只要可以选择“停顿”,那么先手方总是有不败策略。

另外,如果一个游戏是分先手后手依次对弈,而且每次的下子选择都是有限的,而且将在有限步内分出胜负(不算平手),也就是说,它的全部变化是可穷尽的,那么可以证明必有一方有必胜策略。严格的证明我没有找到,但我自己给出了一个证明思路,按这样证应该是没问题的。

我以前看过,好像有个谁发明一套组合方法什么的。

我证明的思路是这样的:

画树形图,先手方第一步有若干(有限的)选择就用实线画若干分支,然后从每一个分支下面把后手的所有选择用虚线画上,就这样一层一层画下去。若某一步下完后胜了,则不再分叉。若最后一条是实线则先手胜,是虚线是后手胜。

由于总变化是有限的,所以这个树形图是有限的。

若游戏是可穷的,便可画出这一树形图。

然后从底端开始擦除,规则是这样:若最终的线是虚线,则擦除这个虚线的顶端所连接的那条实线以及从这一顶端分下去的其它线。原因是这条实线是先手者的选择,而若先手者选择了这种走法,则后手者存在某一步制胜,双方都是理性者,先手者当然知道这样走下去对方有机会一步制胜,所以先手者不会选择那条直线。同理,若末端的是一条实线,则把这条实线以及之前的虚线擦除……这样,每一次擦除的至少是两条线,而总线数是有限的,所以这样擦一定会擦到头。

最后擦到不能再擦的情形只有两种:一种是只剩下第一层的若干条实线,这是擦不掉的,这样的话就是先手方有必胜策略;另一种是所有线都擦完了,那就是说后手方必胜。

于是,所有的游戏都是无聊的:因为若其所有走法的可能性是有穷的,则一定存在最佳策略,所以只要机械地按最佳策略走就行,是无聊的。如果不存在确定的最佳策略,只有当游戏:1、包含随机因子,那就好比抛硬币,看运气,无聊!2、其走法不可穷尽,也就是说下不完的棋,永远下不完有什么意思?好了,都是无聊的。

关于 古雴

胡翌霖,清华大学科学史系助理教授。本站文章在未注明转载的情况下均为我的原创文章。原则上允许任何媒体引用和转载,但必须注明作者并标注出处(原文链接),详情参考版权说明。本站为非营利性个人网站,欢迎比特币打赏:1YiLinDDwvBLT19CTUsNHdiQhXBENwURb

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