后期维特根斯坦与直觉主义的数学哲学

后期维特根斯坦与直觉主义的数学哲学

摘要： 本文以直觉主义为线索来阐释后期维特根斯坦的数学哲学，以期有助于对后期维特根斯坦哲学的把握；在另一方面，也是引用后期维特根斯坦的哲学主张为直觉主义提供支持，本文既试图梳理后期维特根斯坦数学哲学，也同时是对直觉主义的简单述评。作者分别评述了直觉主义与后期维特根斯坦关于构造主义、经验主义、实证主义、柏拉图主义、逻辑主义、形式主义、约定主义、公理化运动以及数学科学的发展等主题的意见，展示了后期维特根斯坦与直觉主义在数学哲学方面惊人的相似性。

关键词： 直觉主义 排中律 构造主义 柏拉图主义 逻辑主义 形式主义 约定主义 公理化运动 语言游戏

目录

引言——直觉主义与维特根斯坦的思想转折… 1

一、 直觉主义——“不要想，而要看！”. 2

二、 排中律和实无穷——“真实性依据于经验”. 3

三、 柏拉图主义——“数学是一种语言游戏”. 7

四、 逻辑主义——“不能用机器来把握精神”. 9

五、 形式主义——“意义不是死物”. 13

六、 约定主义——“语言与生活方式相关联”. 16

七、 公理化运动——“数学不需要基础”. 18

八、 纯粹数学——“应用是至关重要的”. 20

参考文献… 25

引言——直觉主义与维特根斯坦的思想转折

维特根斯坦无疑是20世纪最有影响的哲学家之一，国内外关于他的哲学思想的研究和述评不计其数。不过，我发现，人们对于维特根斯坦的数学哲学的关注似乎较少。

确实，维特根斯坦在数学哲学上的成就是颇受争议的，一些论者甚至指责他的数学修养不够、观点自相矛盾等等。然而，无论如何，研究维特根斯坦哲学（尤其是后期哲学）是不能忽视其数学哲学的：

维特根斯坦的数学哲学之所以不可绕过，不仅是因为他平生留下了大量关于数学的评论，更重要的是数学对于维特根斯坦的哲学观点的形成和转变过程而言都是关键的因素——维特根斯坦最初就是因学习数学而对哲学产生兴趣，而且维特根斯坦前后期思想的转折也是起因于数学哲学。

据说，“1929年，在青年数学家拉姆西（F. P. Ramsey）的积极劝说和在维也纳所听布劳维尔（L. E. J. Brouwer）关于数学基础之讲演的激发下，维特根斯坦终于重新回到剑桥，”[①]而在重返哲学舞台之后，无论是维特根斯坦与维也纳学派的讨论，还是在那段时间的讲演和笔记中，数学始终是最为重要的话题。可见说数学哲学是维特根斯坦后期哲学的根源，绝不为过。

而与前期哲学更多地受到数学中的逻辑主义派的影响相比，维特根斯坦后期哲学明显地更多地受到了形式主义和直觉主义的影响，而其中直觉主义的影响更为深远：我们注意到重新激发维特根斯坦哲学兴趣的数学家布劳维尔正是直觉主义派的领旗人物。

当然，维特根斯坦对于直觉主义的接触远不只是听了一场讲座那样简单。另一方面，促使维特根斯坦重返剑桥的另一人物，在《哲学研究》的序言中被维特根斯坦着重予以感谢的青年数学家拉姆西，虽然在早年倾向于逻辑主义，却在其最后几年中逐渐转向直觉主义[②]。拉姆西在1930年英年早逝，因此他并没有完成他的思想转折。但他生命的最后两年与维特根斯坦来往十分密切，维特根斯坦曾与他“在无数的谈话中和他讨论过我的观点。”（见《哲学研究》[③]序言）

另外，在1929年至1932年间维特根斯坦与维也纳小组的讨论中，当然也会接触到许多直觉主义（以及形式主义）派的学说，例如维特根斯坦曾阅读外尔（Hermann Weyl[④]）的学术报告会论文以及其著作《数学哲学和自然科学》，并作了许多评论（见v.2，p.47以下）。

最后，维特根斯坦之所以倾向于直觉主义，或许“他早年数学思想中所存在的康德一叔本华影响也是重要的内在诱因。”[⑤]直觉主义派与哲学中的先验论、浪漫主义、个人主义等派别也大有渊源，不过我在这里暂不作更多的展开，而是重点考察直觉主义的数学哲学与维特根斯坦后期哲学的联系。

维特根斯坦的文风不拘一格，很难从中理出清晰的脉络来，因此我选择以直觉主义为线索来阐释后期维特根斯坦的数学哲学，或许有助于对后期维特根斯坦哲学的把握；在另一方面，后期维特根斯坦的哲学主张在某种程度上也是从不同的出发点为直觉主义提供支持，本文既试图梳理后期维特根斯坦数学哲学，也同时是对直觉主义的简单述评。

一、 直觉主义——“不要想，而要看！”

在展开进一步的讨论前，有必要对直觉主义作一些基本的介绍：

直觉主义是在当代数学与逻辑学中影响巨大，又是最为特殊的一股思潮。其思想渊源可上溯至康德的先验哲学，如果仅就其反对实无穷的主张来说，更可以追溯到亚里士多德。在当代，克罗内克（Leopold Kronecker）和庞加莱（Henri Poincare）是直觉主义的先驱者，布劳维尔是作为一支立场明确的派别的直觉主义的真正开创者，其主张得到包括贝尔（Rene Baire）、勒贝格（Henri Leon Lebesgue）、海廷（Arend Heyting）、外尔等众多著名的数学家和逻辑学家的同情或接受。

顾名思义，直觉主义最初和最重要的立场就是对“直觉”的强调。这当然不是说他们否认数学的逻辑性和严谨性。谁都承认，数学是对逻辑严谨要求最高的一门科学，直觉主义者不可能否认这一事实。但直觉主义者更要强调的是直觉、灵感和创造力在数学中的地位，而这些东西在公理化运动的浪潮中被淹没和忽略了。直觉主义提醒人们注意：数学不仅是最讲求严格性的科学，同时也是最富创造性的科学。

直觉主义者看起来是非常激进的，甚至可以说是非常“反动”的，他们对当代数学和逻辑学的各种的发展趋势——例如公理化、逻辑化、形式化、孤立化等等——几乎对每一条都进行了抵制和反抗。与“后现代主义”相似[⑥]，与其说直觉主义是一支学派，不如说是一股叛逆的思潮：一方面在那些非直觉主义者那里也能发现大量直觉主义的影响；另一方面，在那些旗帜明确的直觉主义者那里，观点和主张也千差万别，很难笼统地一概而论。

值得一提的是，“直觉”一词在直觉主义那里也是非常含混的，很难说清楚“直觉”究竟是什么。在某种意义上，直觉主义者强调的恰恰是在数学活动中的某些不可言说的要素，若说得清楚，就不叫直觉了。

庞加莱曾提到“直觉”一词的含混性：“要构成算术，……除了纯逻辑之外，还需要其他东西，为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。可是，在这样同一个词后，潜藏着多少不同的意思呢？”[⑦]正如庞加莱所言，在不同的直觉主义者那里，甚至同一个直觉主义者在不同场合中所强调的“直觉”，意义并不是单一的。或许正因为“直觉”一词的歧义和不确定，虽然维特根斯坦在某些场合承认“直觉”重要意义（如v.7，p.181，IV§44；v.4，p.275等等），但他似乎并不喜欢使用这一概念，他提到“直觉，画蛇添足而已”（《哲学研究》§213）。

在另一个场合，维特根斯坦指出：“人们可能问：对于一个证明的每一步，我们都需要一种新的直觉能力吗？（数学的个性）有些情况也许可能像下面这样：如果我得到一个普遍（可变的）规则，那么我必须总是重新承认：这个规则也可以被运用在这里（就是说，它也适用于这种情况）。预见行动并不能使我摆脱这种理解活动。因为规则在其中被应用得形式事实上在每一步上都是一种新形式。但是，问题并不在于一种理解活动，而在于一种决定行动。”（v.4，p.280，§13）不过或许直觉主义强调在每一步都需要的直觉能力不仅是强调理解，也强调人的自由的决定能力。

虽然维特根斯坦认为引入“直觉”一词是不必要的或容易引起误解的，但他在许多场合下所强调的东西，或许也可以被恰当地称作“直觉”，例如有论者提到：“在《逻辑哲学论》中，语言—世界的纽带被名称—客体的关系所固定。而现在，根据维特根斯坦的新观点，那些关系正好是由一定的受规则支配的人类活动所组成与维系的，这些人类活动或许可以称作‘习俗’或‘直觉’。”[⑧]在另一些场合，例如维特根斯坦在前文所提到的“一种决定行动”；或“确定语言游戏”的“本能”（见v.7，p.173，IV§23）；“知道一件事却说不出来”（《哲学研究》§78）；“在适当的光照里显现出来”（《哲学研究》§81）“‘他理解’所含的内容一定多于：他想到这个式子。同样也多于：任何一种伴随着理解并或多或少指称出理解的特征的过程或外部表现。”（《哲学研究》§152）等等这些措词或表述，其实也都可以用“直觉”概括之。

前面说到，“直觉”正是指那些不可被概念化而被思考和言说出来的东西。“直觉”的领会不是通过分析和推理，而是——正如直觉（intuition）一词的拉丁语源——通过“看”。维特根斯坦的名言“不要想，而要看！”[⑨]（《哲学研究》§66）正是对“直觉”的最好诠释。

“直觉”强调的是一种个人心灵的活动或能力，而后期维特根斯坦强调“私人语言”的不可能性，这是否有矛盾呢？恰恰相反，后期维特根斯坦虽然排除了私人语言，却没有完全摒弃其早年的唯我论（参见《哲学研究》§24）而直觉主义所强调的恰恰是个人的“本质上无语言的心灵活动”[⑩]直觉主义者也表达过类似语言现象是文化、习俗的产物的观点（这方面后文还会提及），因此在数学活动中属于数学家个人的创造力的部分，一定是超语言的。

“数学不能被还原为语言——这是布劳维尔的中心观点——并且从中可以推出，语言仅仅是某种辅助手段，某种使得社会组织得以可能的东西。”[11]而类似的观点——语言只是某种辅助手段，是攀登上去后便可舍弃的“梯子”，只有超越命题才会正确地看世界——这种观点在前期维特根斯坦那里就已经被强调了（《逻辑哲学论》末尾）。而这种关于语言的局限性的主张在后期维特根斯坦那里仍然是得到坚持的。

在后文的讨论中，我将会把维特根斯坦视作一位风格独特的直觉主义者，或者说他从一个非数学家的立场为直觉主义者的主张提供了独特的支持，我相信这并没有过多地曲解维特根斯坦——为什么不能说维特根斯坦是个直觉主义者呢？一些论者列出了许多维特根斯坦与直觉主义的不同意见，例如涂纪亮提到：“例如，对于直觉的作用，他一方面承认数学中也需要直觉，直觉能在数学中起一定作用，另一方面他又反对像直觉主义者那样无限夸大直觉在数学中的作用。又如，他一方面反对直觉主义对排中律的有效性的抨击，另一方面他又对排中律的有效范围作了适当限制。又如，他承认数学中存在着许多目前无法彻底解决的疑难问题，但他不赞同布劳维尔认为这些问题是绝对无法解决的观点，如此等等。”[12]然而事实上，后文将会提到，直觉主义者并非“无限夸大”直觉的作用；也并非不承认排中律的有效性；另外维特根斯坦关于什么算是解决问题的看法也比较特别……简单地说，许多论者提及的维特根斯坦与直觉主义者的差别许多是基于误解，许多则是非本质的差异（不同直觉主义者之间往往也有巨大差异）。

如果要说维特根斯坦与直觉主义者有什么重要的差别的话，有一点值得一提：与大多为数学家的直觉主义者相比，维特根斯坦是站在数学之外对数学进行反思的哲学家。他在达到相似结论的思路与其表述方式与一般的直觉主义者风格迥异。但尽管如此，按照维特根斯坦的“家族相似”学说，将维特根斯坦归为直觉主义也绝不过分。

二、 排中律和实无穷——“真实性依据于经验”

提到“直觉主义”，人们最容易想到的可能是他们对“排中律”的反对——“一件事不是假的就是真的”，对于如此显而易见（如此合乎“直觉”！）的逻辑原则也要提出反对吗？再加上直觉主义又时常与浪漫主义、非理性主义扯上关系，难怪会给一些人留下“不可理喻”、“异端邪说”的印象。

首先需要指出的是，不必对直觉主义者对排中律的反思感到过于惊讶。事实上，即便是在经典逻辑的思路里，也并不是任意的“语句”都具有真值的，例如“面包是勇敢的”、“电子是甜的”、“独角兽是小于零的”等等，我们也认为这些语句“非真即假”吗？与其说这些句子为“假”，不如说这些句子根本是无意义的、不知所云的。

再打个比方来说，直觉主义可以承认“天下乌鸦一般黑”这一断言是有真值的，因为“天下的每一只乌鸦要么是黑的，要么是非黑的”（不考虑模棱两可的颜色）这一命题是合法的。因为 “天下的乌鸦”虽然多不胜数，但毕竟是有限的；“天下”虽然广大，但也是有限的；原则上我们可以地毯式地搜查出所有的乌鸦，然后挨个检查它们的颜色，虽然这在技术上难以做到，但这个问题毕竟是“现实的”。

然而，下述的陈述却是无意义的：“在《伊索寓言》的《乌鸦与狐狸》故事中的那只乌鸦要么是黑的，要么是非黑的。”因为那只乌鸦根本是故事里虚构出来的，而伊索也从未直接或间接地提供过有关判断该乌鸦颜色的信息。

除非在伊索的故事的内部有足够的依据来判断它的颜色，例如在某处说到该乌鸦曾掉落一片白色的羽毛，才有权认为谈论那只“乌鸦”的颜色是有意义的。

维特根斯坦也曾提到关于小说中虚构人物特征的询问将是不确定的，因为作者可能回答说：“我还没有决定。”

问题的关键是究竟哪些陈述是现实的，而哪些是虚幻的。直觉主义并非直接地反对排中律，对他们来说，与经典逻辑一样，任何在语义上合法的、有意义[13]的陈述仍旧是非真即假，米歇尔•达米特（Michael Dummett）指出：“对于直觉主义逻辑来说，排中律的双重否定是有效的语义原则，就像二值逻辑认为排中律本身是有效的一样：断言任何陈述既不真也不假是不一致的。”[14]

维特根斯坦本人以及一些论者误解了直觉主义者关于排中律的主张（或许是因为直觉主义者的言辞过于激烈），由此认为维特根斯坦对于排中律的限制与直觉主义者迥异。

例如涂纪亮指出“维特根斯坦在批驳布劳维尔等直觉主义者对排中律的普遍有效性的攻击时，并没有对排中律的普遍有效性作出绝对的或者全面的肯定，因为他认为对于无穷序列而言，排中律是否适用就有问题。”[15]而这里所说的维特根斯坦的主张恰是直觉主义者的立场。又例如维特根斯坦认为布劳维尔主张“情况中除了是和否以外还存在着不可判断的情况”（v.3，p.203，§174）——而这是不确切的，直觉主义者并非主张三值逻辑（“多值逻辑”另有一批拥护者，而且多在逻辑主义传统之内），即除了“是”与“非”两个真值外还有第三种相并列的真值“不可判断”。

事实上，直觉主义者与维特根斯坦的主张是相似的：并不是说有某些有意义的命题可以是既不真也不假的，而是说某些陈述由于滥用了语词，根本是毫无意义的，当然也就无所谓真或假了。

维特根斯坦指出：“当有人要使我们牢牢记住排中律命题是逃避不了的时，——显而易见，他的问题中有某种不合适的东西。当有人提出排中律的命题时，他好像是给我们提出了两种图像供选择，并且说其中一种必定符合事实。但这些图像在这里是否适用成为问题时，那该怎么办？”（v.7，p.198，V§10）关键在于，对某个命题而言关于其真假的谈论是否“适用”。那么，在什么情况下谈论真假才是合适的呢？首先，维特根斯坦认为真假的判断与“实在”无关，而也只是“语言游戏”中的一部分（见《哲学研究》§136）。

关于维特根斯坦的反实在论，稍后将展开论述，在这里，值得对维特根斯坦与直觉主义在哲学上的另一个基本立场（当然也是与反实在论密切相关的）加以说明：

后期维特根斯坦虽然离开了逻辑经验主义或逻辑实证主义的阵营，但究其实质，维特根斯坦真正放弃的只是“逻辑主义”，而并不是经验主义或实证主义。维特根斯坦从未彻底放弃经验主义和实证主义的思路，毋宁说他与直觉主义者相似，将经验主义与实证主义立场推广到了数学领域。

不妨说直觉主义者才是最彻底的经验主义者。相比下来，所谓的“逻辑经验主义”反而有所不及。因为所谓逻辑经验主义实在是“逻辑／经验”主义，他们在一切领域坚决贯彻经验主义，唯独在“逻辑”（以及被认作逻辑的导出物的数学）中却是例外。而直觉主义则坚持数学真理也是经验的，逻辑、数学与其它经验性的自然科学一样，并不是绝对可靠的。布劳维尔说道：“并不存在非经验的真理，逻辑也并非是发现真理的绝对可靠的工具。……严格地按照这个观点来进行探讨，并且专用内省构造的方法来推演定理的数学，叫做直觉主义数学。”[16]

经验主义与实证主义总是关系亲密，自然地，直觉主义的数学观也是倾向于实证主义的，保罗·贝纳塞拉夫（Paul Benacerraf）称：“直觉主义者在数学上倒似乎是证实主义者”[17]

维特根斯坦也主张数学命题的真实性同样要依据于经验，例如他提到“‘一分钟有60秒。’这是一个与数学命题十分相似的命题。是否它的真实性依据于经验？……如果所有那些使时间的测量具有意义的联系都不存在，我们是否还能谈论分和秒？……正如没有象棋游戏，将死也就没有意义。”（v.7，p.295，VII§18）在维特根斯坦看来，数学和逻辑与其它科学一样，都是来自于人类生活的语言游戏，其真实性或者说有效性也都不可能是超越经验的。

在另一处，维特根斯坦提到：“‘书在桌子上的某个地方’和‘事情将在未来的某个时刻发生’之间的差别是什么呢？显而易见，差别在于：在一种情况下，我们有一种肯定的方法可以证实书是否在桌子上，而在另一种情况下，没有这种方法。”（v.4，p.242，§6）在维特根斯坦看来，表面上看来相似的语句，如果其可证实性或者其可能得到证实的方式有所不同，那么这些语句在语法上是不能等同的。对于“存在”、“有”这样的词语，如果说原则不可能通过经验得到证实，那么这些词语的使用将是暧昧不明的。

由此，维特根斯坦对构造主义（直觉主义者一般持此主张）的某些说法表示同意，他提到：“因此有这样的争论：一个不是构造的存在证明是否真的是对于存在的证明。即是说，它问的是：如果我没有可能发现它存在于什么地方，我懂得命题‘有’吗？”（v.7，p.223，V§46）

这里顺便提到：在构造主义的思路下，维特根斯坦关于“连续统”的意见与直觉主义者相似。他们都否认康托尔关于“实数多于有理数”著名的对角线法证明。维特根斯坦指出：不可能现成地将所有实数的序列排出来，因此康托尔关于由对角线法生成的实数不同于序列中的任何一个的论证是无效的，因为数列正在被不停地列出，而总是要等先列出下一行的实数后才能再在新的对角线数末尾增添一位，而这时下一个将被列出的数与对角线数是否不同永远是不确定的，因为下一个数还没有被列出——“序列中始终有一个，它是否不同于对角序列这一点是不确定的。人们可以说：它们相互追随，趋于无穷，但总是原来的序列位居前面。”（v.7，p.82，II§9）

维特根斯坦多次强调直线绝不是“点的集合”，这也正是布劳维尔连续统观念的要点——“连续统不是作为点的集合而被直觉的，不是某种恰好呈现为类似直线的东西。它是一个多重性的统一体，来自于我的如下认识，即我能够不断地在那些我已经构造的事物‘之间’插入数字……”[18]。维特根斯坦认为：诸如说在直线上画一个叉并不是在说“我在这一‘点’上画了叉，而这一个点属于这条直线，因此我在直线上画了个叉”。事实上，在我构造出它之前，直线上原本并没有这样一个“点”。维特根斯坦还举了射靶为例：说“射中靶子上的任何地方就赢”并不是个命题，而是个普遍的规定。“射中的那一点可以任何方法而不是由射中来标志的吗？那一点事先就在靶子上的吗？”——确切的说法是：“你射中靶子，因此……”，而不是“你射中这儿，这儿在靶子上，因此……”（见v.4，p.234，§3）一个整体在我们对之进行分割之前，并不是部分的和，更不是“所有”部分的集合，这一主张不仅与直觉主义者相近，还可以追溯到康德——“假设整体是无限地有分支的，这根本不可思议。尽管可以假设，物质的各部分在分解时能够被无限地划分。……能够在整体中规定一个数量的分割，其程度如同人们在分割的回溯中前进的程度。”[19]

言归正传，一旦将数学命题也视作经验命题，将可证实原则引入数学，则势必要对排中律的适用范围有所警惕。维特根斯坦提到：“当布劳维尔攻击在数学中应用排中律时，就他所攻击的是一种和经验命题的证明相似的过程而论，他是正确的。”（v.4，p.427，§39）直觉主义者认为只有那些原则上能构造出在有限步内可以能行地判定的方法的数学陈述才是合法的。维特根斯坦同意这些主张，更进一步指出：一个数学陈述如果没有“用处”，那么也是毫无意义的，例如他提到：“可以构成这样的表达：‘所有类的类，它们在数量上等同于无穷序列的类’，也就像：‘所有天使的类，它们都在一个针尖的位置上’，但只要没有对于这个表达的使用，它就是空洞的。这样一种使用并不是尚待发现的，而是尚待发明的。”（v.7，p.90，II§38）

从上面我们看到，对排中律的攻击是与直觉主义的整个哲学立场和对数学的理解密不可分的，具体来说，对排中律的质疑表达了直觉主义者对数学中语言的滥用现象的不满，特别是对“存在”、“所有”、“无限”等词语在运用中的混乱提出了批评。

直觉主义者和维特根斯坦都特别指出了“无限”、“无穷”等词在数学中的滥用。维特根斯坦说道：在数学中应该避免“无限的”这个词——“在它显得是把意义赋予计算而不是从计算中得到意义的地方，都应避免这个词。”（v.7，p.94，II§58）维特根斯坦反复强调：无限不具有一个数的地位，无限性的本质就在于它是一种可能性，而不是一种现实性。“无限的可能性本身是没有大小的。”（v.3，p.144，§138）在另一处维特根斯坦提到：“说一项技术是无限的并不意味着它永不停止地进行——它不可度量地增值；而是说它没有终止的机制，……可以说一个运动场是无边的，如果游戏的规则没有规定界线。”（v.7，p.91，II§45）

而维特根斯坦认为许多人错误地将作为可能性的无限理解为某种现实的、完成了的实物，例如，他指出：“就像当我们说‘这个命题适用于所有的数字’时，我们相信，在我们的思想中，已经包含了所有数字，就像苹果在一个盒子里似的。”（v.4，p.244，§6）“在其基本定律中，罗素好像这样说到一个命题：‘它已经的出来了——我仍须做的全部事情是，把它推论出来。’弗雷格在什么地方也说过同样的话：连接两点的直线在我们把它画出来之前其实已经在那里了；当我们说，变换（比如说在序列+2中）在我们以口头或书面的形式将其做出之前其实已经被做出来了——好像我们所做的只是把它们发现出来，”（v.7，p.10，I§21）“你曾倾向于这样表达：‘即使我还不曾在笔头上、口头上或思想上完成这些步骤，它们真正说来已经完成了。’仿佛它们以某种独特的方式事先决定好了，预计好了——就像说单单意谓就能够对现实作好预计。”（《哲学研究》§188）等等。维特根斯坦认为这些都是因误用“无限”一词而造成的欺幻。

总之，正如直觉主义者承认“潜无穷”而拒绝“实无穷”那样，维特根斯坦认为所谓无限只是表示没有限制，而绝不可以指称某种现实的东西。而维特根斯坦之所以拒绝实无穷，与直觉主义一样，一方面是出于反“柏拉图主义”（后文详叙），一方面也是出于经验主义和实证主义——谈论原则上不可能经验的事物是无意义的——例如维特根斯坦提到“我可以简单地说：为什么无限多的命题不可能来自一个命题，是因为写出无限多的命题是不可能的（就是说，说这种话毫无意义）。”（v.4，p.232，§3）另一方面，附带提及的是，维特根斯坦还经常采取某种实用主义的策略[20]。

当然，与直觉主义一样，维特根斯坦在强调数学命题与一般科学一样都来自经验的同时，并没有否认其它要素在数学活动中的地位，他说道：“肯定是经验告诉我计算是怎么产生的，但我承认的不仅是经验。”（v.7，p.59，I§164）

三、 柏拉图主义——“数学是一种语言游戏”

前文提到，维特根斯坦和直觉主义的思想都带有鲜明的反柏拉图主义或反实在论倾向，维特根斯坦甚至说：“哲学中最麻烦的东西不是经验，而是实在论。”（v.7，p.246，VI§23）

“柏拉图主义”对整个近代科学的影响比一般人想象的要大得多，甚至伯特（Edwin Arthur Burtt）等一些有影响的科学史家指出：从哥白尼到牛顿的近代科学崛起的整个过程中，柏拉图主义的复兴始终都是至关重要的触发和推动的因素[21]。但这种推动近代科学崛起的“柏拉图主义”，其实是指现实世界的“数学化”，也就是说，近代的柏拉图主义打破了理念世界与现实世界的界限，使得我们对理念世界的“理想研究”可以顺理成章地用以解释现实世界。而到了更晚近的时代，一个超越现实世界的理念世界在科学中似乎又重新出现，那就是数学中的柏拉图主义——人们发现现实世界终究不够“理想”，而数学的发展似乎又需要有更加“理想”的对象提供支持，于是，许多数学家们重又转而向超验的理念王国求助。

造成这样局面的一个原因是下述一条长期以来被普遍接受的信念遭到了颠覆——“数学是针对物理世界的抽象和反映，数学对象存在与之对应的、为之所刻画的现实构造。”

对这一信念的颠覆在某种程度上始于非欧几何的诞生。欧氏几何长期以来被认为是对物理世界的真实刻画，但非欧几何打碎了这种天真的想法，数学的“确定性”开始动摇，人们开始接受：“多种”数学可能同时存在。当然，现实世界只有一个，如果物理空间是非欧的，那么欧氏几何所刻画的又是什么呢？当然，在非欧几何之前，负数、复数、无穷小量等等早已困扰了数学家和哲学家们许多年了。

另一个进展来自于自然科学，现代的宇宙学和量子物理学都取消了物理世界中的“无限”。正如希尔伯特（David Hilbert）所说：“我们已在两方面确定了宇宙是有限的，即在无限小的方面和在无限大的方面。”[22]大多数人都同意希尔伯特的看法：“如果数学要独立于暧昧的经验假定的话，那它绝不应把有关无限结构的存在性断言建立在物理的考虑之上。”[23]

于是，如何“处置”数学中的“无限”便成了争论的焦点。既然无法在现实世界中寻找“无限结构”，允许它们存在于某个超验的理念世界中似乎是一个最方便的做法。然而这样一个神秘的世界是令人困惑的。

柏拉图主义的影响经常是不自觉地渗透在人们的思维和语言习惯中的，例如保罗·贝奈斯（Paul Bernays）指出：“这种建立理论的方式（柏拉图主义式的）的一个例子，可以在希尔伯特的几何公理化中找到。如果我们比较一下希尔伯特的公理系统和欧几里得的公理系统，……我们就会看到：欧几里得说的是有待构造的图形，而对于希尔伯特来说，点、直线和平面系统是一开始就存在的。欧几里得假设：人们能够用一条直线联接两个点；希尔伯特陈述公理：给出任何两点，总存在一条这两点都在其上的直线。……这个例子已经表明了，我们正在显示把对象与反思主体之间的联系全割断的意向。”[24]

集合论的创始人康托尔（Georg Cantor）更是明确地声称自己是一个柏拉图主义者[25]，他不仅向“理念王国”求助，更援引神秘主义和上帝来为自己辩护，他说道：“数学对象的实在性并不存在于真实世界，而是存在于上帝的无穷智慧之中：数学对象的内在真实性即逻辑相容性保证了这种对象是‘可能的’，而上帝的绝对无限的本质则保证了这种‘可能的对象’在上帝思想中的永恒存在。”[26]

数学中的“柏拉图主义”的极端形式可以叙述如下：“数学由一批命题组成，这些命题讨论由熟知的数学对象（如集合、数、函数和空间）所构成的独立实在。数学发现乃是根据我们凭借不同于感官经验（它只为我们提供经验世界的知识）的特殊直觉能力认定为真的公理，通过演绎揭示与这种独立存在的实在有关的真理。数学对象独立于我们的思维，它们与物理对象不同，不是通过与人体产生相互作用，从而在人脑中引起改变以最终导致对它们的认识；但是它们必须予以假定，以便说明数学知识和其它知识（在这些只是依赖于数学知识的范围内）之存在与增长的原因。”[27]

正如贝纳塞拉夫所说：“很难不折不扣地把这种观点归属于任何人，尽管哥德尔或许是柏拉图以来最接近这种观点的人。……可能大多数数学家都会反对这种极端形式的柏拉图主义；当代的哲学家或心理学家中肯定没有什么人会认为，对独立存在于时空之外的对象的王国进行审视的超自然能力的概念是能够接受的。但是如果反对回到这种观点上来，那就无法回避因提到‘直觉’（这是在许多哲学家和集合论学者的著作中都遇到的）而产生的一些问题。”[28]

即便是逻辑主义或形式主义，也希望避免极端形式的柏拉图主义，前者试图以将数学归结为逻辑的方式回避问题，事实上，他们最终还是要在解释逻辑为何可靠的问题上遇到困难——逻辑的真理性究竟是由先验的直觉、超验的世界、还是由经验保障的？而形式主义试图干脆取消数学对象的“意义”，数学对象不需要把意义寄托在现实世界或理念世界，因为数学对象根本不需要意义，数学的意义在于其构成的一致的、自圆其说的系统。但这些努力在很大程度上都是在回避问题，他们对柏拉图主义的拒绝是不彻底的。关于逻辑主义和形式主义的主张，在后文中还将展开论述。

毫无疑问，直觉主义对柏拉图主义的拒绝是最为自觉和最为彻底的，海廷指出：“我们并不赋予整数或任何其他数学对象以独立于我们思想之外的存在，亦即所谓超越的存在。即使我的每一思想都涉及一个被认为独立于它而存在的对象，我们尽可能让这继续成为一个悬而未决的问题，在任何情况下，这样一个对象没有完全独立于人类思想的必要。即使它们必须独立于思想的个别活动之外，数学对象从它们的本性来说还是依赖于人类思想的。它们的存在只有在它们能被思想决定的范围内才得到保证。它们之具有性质也只有在这些性质能被思想从它们中间加以识别的范围内才说得上。但是知识的这种可能性只是靠知的活动本身才给我们显示出来。不被概念支持的对与超越存在的信赖，作为数学证明的工具必须予以拒绝。”[29]

直觉主义者倒不是将矛头指向对“理念世界”的信念本身，你可以信赖超越的存在，就像你可以信仰上帝，这是你的自由（联想到维特根斯坦所说：这是迷信但并不是错误。见《哲学研究》§110），不过这是信仰的问题，与科学无关。科学不必干涉对超越物的信念，同时，这些信念更不能介入科学，甚至成为科学中证明的工具。正如前文所言，直觉主义者把数学与物理学等自然科学放在一起，数学同样是一门经验的、实证的、可错的、自然的科学，只不过是更为抽象一些罢了，而逻辑学则比数学还要抽象，但它们始终不能超越经验，寻求形而上学的乃至神学的东西。

顺便提一下，直觉主义者坚定不移地割断了数学与超验世界的任何联系，但是另一方面，它却试图重建几乎已被割断的数学与现实世界的联系，这些倾向在后文中我将会展开。

“直觉主义立场的整个核心就是认为不可判定的数学陈述不会因按柏拉图主义方式规定它们的真值条件而合法地具有意义。”[30]——反柏拉图主义可以说是理解直觉主义思想的主要线索之一。

从经验论出发，强调“数学对象不是独立于人的思想之外的超越存在”，这些方面维特根斯坦与直觉主义是相似的。不同的是，维特根斯坦更多地是从语言哲学出发而反对柏拉图主义的。维特根斯坦指出“语言”并不是“某种非空间、非时间的非物”（见《哲学研究》§108）“‘语言（或思想）是种独一无二的东西’——这已证明是由语法的欺幻产生出来的一种迷信（不是错误！）”（《哲学研究》§110）

在维特根斯坦看来，非但“语言”并不具有至高无上的地位，在语言中也并没有哪些概念享有与众不同的特权——“其实，只要‘语言’、‘经验’、‘世界’这些词有用处，它们的用处一定像‘桌子’、‘灯’、‘门’这些词一样卑微。” （《哲学研究》§97）

既然语言无非是现实的人类活动的产物，而包括数学概念在内的任何词语无非是一般的语言的内容，当然也不存在什么超现实的理念王国了。人类的语言活动正如游戏活动，“而‘真’和‘假’这两个词的用法也可以是这个游戏的组成部分”（《哲学研究》§136）。

在这里维特根斯坦似乎与形式主义相近（关于形式主义将在后文详叙），认为真假并不在于与“实在”相符，而是在订立的“游戏规则”内部被判断，例如他曾提到：“没有成为问题的步骤是逻辑推理。但是，它们不成问题的原因不是因为它们‘肯定与真理相符’——或诸如此类的原因，不，这只是因为它被叫做‘想’、‘说’、‘推理’、‘论证’。这里根本没有什么所说的与实在之间相符的问题；倒是逻辑在这样符合之前，在同样的意义上可以说，确立测量的方法是正确地或错误地说出长度的前提。”（v.7，p.57，I§156）当然，在我们所“玩”的预言游戏中，真值的断定确实有某种特殊的意义，因为这是“我们对命题玩的游戏的本质特征”，正如棋戏中的“胜负”那样。但我们也可以想象有某些“与棋戏很相近的游戏，它也要走动棋子，但没有输赢，或输赢的条件不一样。”（v.7，p.73，I-附录三§2）于是，真与假正如胜与负，取决于所玩游戏的规则——“在下棋时叫做‘输’的事情还可能在另一种游戏中是赢”，正如我们问：“在哪个系统中‘是可证明的’？”我们也必须问：“在哪个系统中‘是真的’？”（v.7，p.75，I-附录三§8）。

然而，如果说数学只是一种语言游戏，那么其规则难道是可以任意制定的吗？那么，数学的确定性和可靠性从何而来呢？在这方面，维特根斯坦与主张“基本直觉”的布劳维尔有所不同，倒与直觉主义的先驱者庞加莱的约定主义更为接近。关于维特根斯坦与形式主义和约定主义的关系将在后文详叙。

四、 逻辑主义——“不能用机器来把握精神”

我提到，维特根斯坦的思想转折源自他的数学哲学立场由逻辑主义转向直觉主义，因此，在讨论后期维特根斯坦对逻辑主义的意见之前，值得花些笔墨讨论一下逻辑主义与直觉主义的关系。

逻辑主义是大概是现代在数学基础的争论中，乃至是在整个现代哲学中影响最大的派别之一。它几乎主导了整个20世纪英美哲学的发展。在数学方面，其主张用最简单的语言概括就是：数学可由逻辑推导出来。具体些说，包括：“1、数学概念能通过明确的定义从逻辑概念中导出。2、数学定理能通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来。”[31]

前文已经提到，直觉主义可以说是数学中的经验主义和实证主义者，而我们知道大多数逻辑主义者自然地同时是所谓的“逻辑经验主义者”或“逻辑实证主义者”等等，由此观之，逻辑主义与直觉主义虽是死对头，但其共同点着实不少。

在对“形而上学”的拒绝这一点上，逻辑主义与直觉主义是相似的。甚至逻辑主义可能更为坚决一些。逻辑经验主义不止是在科学中拒绝形而上学，甚至是整个地鄙视形而上学。在他们看来，传统的所有形而上学问题都是“伪问题”，都是毫无意义的。甚至是“外部世界是否实在”这样的问题，由于它正是一个典型的形而上学问题，所以在最初的逻辑经验主义看来根本是毫无意义的。相比直觉主义者而言，逻辑经验主义者理应更配得上“反实在论”（至少是“非实在论”）。问题是，逻辑经验主义者恰恰在逻辑学和数学上不再坚定地贯彻其经验主义，而直觉主义者虽然在外部世界的实在问题方面是温和的，但是对于柏拉图主义意义的实在论进行了最强烈的抵制，以至于竟是直觉主义更多地与“反实在论”这一名词联系在一起。

许多逻辑主义者也都明确表达地表达过对直觉主义者的反柏拉图主义的支持，例如卡尔纳普（Rudolf Carnap）说到：“我认为我们应该坚持弗雷格的名言，即在数学中，只有那些存在性已被证实了的（他的意思是在有限步骤内证明了的）才可被看作是存在的。我同意直觉主义者的观点：每一个逻辑—数学运算、证明及定义，并不是由于人们的一些偶然的经验事实而要求有限性，而是由于主题本身的性质才要求有限性。”[32]“和直觉主义一样，我们只把那些按照确定的构造规则由适当范围内的无定义的原始性质通过有限多的步骤构造出来的表达式看作性质。我们之间的区别在于这个事实：我们不仅认为直觉主义者所用的构造规则是有效的，并进一步允许用‘对所有性质’这个表达式。”[33]

直觉主义与逻辑主义的关系看来是非常微妙的。刚才提到，直觉主义似乎比逻辑经验主义更强调“经验”，现在我们又将看到：逻辑主义似乎比直觉主义更加诉诸“直觉”！

哥德尔（Kurt Goder）提到：“数学直觉对象的客观存在性问题（附带提一下，它是外部世界的客观存在性问题的精确复制品），对于这里所讨论的问题不是具有决定性的。关于存在一种充分清楚的可以产生集合论公理和它们的扩充的一个开系列的直觉的仅仅是心理学上的事实，就足以使像康托尔连续统假设那样的命题的真假问题具有意义。但是，也许比其他一切都更能证明，接受集合论中的这个真理性判据为合理的是这样一个事实：不断地诉诸数学直觉不仅对于获得超限集合论问题的无歧义解答是必要的，而且对于解决有限性数论问题（如哥德巴赫猜想）也是必要的，”[34]

哥德尔的“不断地诉诸数学直觉”却被直觉主义要求中断！分歧在于，逻辑主义者认为人类的直觉能够把握并运用“实无穷”这样的概念，而直觉主义者予以坚决的反对。

简单地说，直觉主义运用逻辑主义的理念——经验主义与实证主义——来反对实无穷；而逻辑主义却诉诸“直觉”为实无穷这一概念的合理性提供支持。

直觉主义对“直觉”的限制是合理的，也是前后一致的。谁都不会认为人的直觉总是正确的或者一切正确的总是合直觉的。有些论者以“直觉主义数学中的某些定理也过于复杂以至于不能为直觉把握”为由来反驳直觉主义，这是基于对直觉主义的一种仅仅是“字面上”的过分简单的理解。正如庞加莱所言：“逻辑和直觉各有其必要的作用。二者缺一不可。唯有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具。”[35]直觉主义从未否认逻辑的重要性。

而逻辑经验主义对“经验”的限制则是值得商榷的，事实上，许多逻辑主义者“受根深蒂固的绝对主义逻辑观的影响，认为逻辑是纯形式的，空无内容”。[36]他们认为演绎逻辑的真理是绝对必然的，值得讨论的顶多只是对归纳逻辑的“证成”问题，而甚至从未认真考虑过演绎逻辑是否也需要“证成”的问题。但是逻辑的“绝对必然性”又是从哪里来的呢？事实上，只是因为逻辑与经验的距离最为遥远、关系最为间接，才让人产生“逻辑是绝对的”这样的错觉。逻辑规则与其他科学规律及常识一样，“具有经验的起源，它来自于人们在长期社会实践过程中所形成的基于经验的直觉，它是人们对日常语言经验和思维经验进行逻辑抽象的结果。”[37]

直觉主义的主张正是基于他们对逻辑之“经验性”的承认。从语言学角度说，逻辑是人们对日常语言经验进行抽象的结果；而具体在数学方面，数学中的逻辑正是对数学家们在长期的数学探索和创造中的经验的抽象，海廷说到：逻辑定理“和数学定理并没有本质上的区别；它只是更一般，就如‘整数加法是可交换的’是比‘2+3=3+2’更一般的陈述一样。对于每一个逻辑定理来说，情况都是如此，它只是一个具有极端一般性的数学定理；也就是说，逻辑是数学的一部分，而决不能作为它的基础。”[38]（维特根斯坦也主张逻辑是数学的一部分而决不是其基础，这方面还将在后文详述）

我们看到，直觉主义和逻辑主义的最根本的分歧并非是否接受“实无穷”，而是在于对“逻辑是什么”的理解。至于对实无穷的拒绝，只是直觉主义者在主张逻辑“经验性”之后才得到的一项推论——既然经验中不存在实无穷，又没有超验的世界或者超自然的力量来提供保障，那么我们关于“实无穷”的所谓“直觉”怎么可能是合法的呢？

正如布劳维尔所说：“直觉主义一方面使逻辑趋于精细，另一方面抨击作为真理来源的逻辑。”[39]直觉主义并非不重视逻辑，好比说我们并不因为物理学不提供绝对真理就丢弃和鄙视物理学，意识到物理学向我们提供的仅仅是相对的真理并不是在贬低物理学，而是人类思想的进步，是保证物理学继续健康发展的必须。类似地，直觉主义重视逻辑，正如他们重视经验科学那样。直觉主义反对的是将逻辑作为“真理来源”——人类的知识源自经验，如果愿意，也不妨说最终来源于“外部世界”、“终极实在”、“物自体”、“上帝”或诸如此类，但无论如何：只能说科学源自真实，而不能说真实源自科学，科学毕竟是人类的历史性的活动，逻辑学和数学也不例外！

在简略考察了逻辑主义与直觉主义的关系后，或许更容易理解维特根斯坦的哲学转向。应该说，后期维特根斯坦并未完全推翻其前期所接受的许多逻辑主义的主张，也并没有走向对逻辑的拒斥。后期维特根斯坦仍然承认逻辑的重要地位，他提到：“说数学就是逻辑，这是对的：它在我们预言的规则之内运动。这赋予它特别的稳定性、与众不同的不容置疑的地位。”（v.7，p.59页，I§165）我们也看到，后期维特根斯坦仍然支持让表达更为精确严密的努力，只不过他对过度地沉迷于对精确性的追求的倾向表示警惕，他说道：“也可以这样说：把我们的表达弄得更加精确，就可以消除一些误解；现在我们却好像在追求一种特定的状态，完全精确的状态；似乎这就是我们进行探索的真正目的。”（《哲学研究》§91）

维特根斯坦认为这种对于“逻辑的水晶般纯粹”的追求不应该是科学探索的真正目的，而科学本应立足于日常语言—— “愈细致地考察实际语言，它同我们的要求之间的冲突就愈尖锐。……我们踏上了光滑的冰面，没有摩擦，因此在某种意义上条件是理想的，但我们也正因此无法前行。我们要前行，所以我们需要摩擦。回到粗糙的地面上来吧！”（《哲学研究》§107）

在维特根斯坦看来，即便说让数学与“水晶般纯粹”的逻辑相一致的努力真的可以实现，那也是不值得向往的。因为逻辑化同时是对人的机器化，是人们的“直觉受到僵死的书写方式的重压”（见v.7，p.154，III§81）

维特根斯坦承认“经验告诉我们，机器作的计算比记忆可靠。经验告诉我们，在我们用机器计算时，我们的生活会更顺当。”但他反问道：“但顺当就一定是我们的理想（我们的理想难道是让所有的东西都包在玻璃纸里面）？”（v.7，p.154，III§81）

维特根斯坦提醒道：“逻辑机器——它会促成为浸透一切的，超凡的装置。——我们必须对这幅图景加以警惕。”（v.7，p.45，I§119）一旦人们只懂得像机器那样计算、以机械的方式遵守规则，人们就使自己成为机器了（见v.7，p.171，IV§20；v.7，p.331，VII§60）然而，“人不能用机器来把握精神。”（v.7，p.154，III§81）在这里，维特根斯坦与直觉主义者的浪漫主义或人本主义的气质是一致的。

在维特根斯坦看来，对逻辑精确性的过分追求不仅是值得警惕的，更是虚假的。他说道：“通过罗素和怀特海，特别是怀特海，一种虚假的精确性进入了哲学，它是现实的精确性的最坏的敌人。在这里，这种错误的根源就于：一种计算可能是数学的数学基础。”（v.4，p.276，§12）（维特根斯坦关于数学不需要基础的主张将在后文展开讨论）。

之所以说逻辑主义所追求的精确性是虚假的而不是现实的，一个最重要的理由已在前文有所述及：即“逻辑推论是语言游戏的一部分”，（v.7，p.308，VII§30）“逻辑推理的规则是语言游戏的规则。”（v.7，p.312，VII§35）因此，逻辑的精确性无非只是这种语言游戏规则制定得特别规范和严格，而与“实在”无关。

在维特根斯坦那里，数学固然是规范的，但“规范”（“Norm”）与“理想”（“Ideal”）不具有相同的意思（见v.7，p.334，VII§61）逻辑是一门“规范性科学”，它提供一套“具有固定规则的游戏”——“但我们不能说使用语言的人一定在做这样一种游戏”（《哲学研究》§81）

也就是说，逻辑提供一些具有某种强制力（见v.7，p.44，I§117）的规范，但终究不是对现实的刻画。逻辑学和科学所提供的理想图景都不是对现实的语言、思想或现实的物体的刻画，而毋宁说是作出某种规定。维特根斯坦说道：“‘运动学描述装置的运动基于这个假定：它的各个部分完全是刚性的’，一方面我们承认，这个假定不合乎现实，而另一方面人们又一点也不怀疑，完全的刚性部件会这样运动。但这么一来就有了确定性吗？现在的问题其实不是确定性的问题，而是我们作出某种规定的问题。我们并不知道，如果物体（以如此这般的标准）是十足的刚性，它们会这样运动；但是，（在某些情况下）如果那些部件那样运动，我们肯定会将其称为‘刚性的’。”（见v.7，pp.46~47，§119~122）

简单地说，逻辑学或科学所讨论的理想化的问题并不涉及现实的精确性的问题，而只是对某些语词和语法规则作出规定。这些规定和规则对人们现实的活动而言就好比是一些“路标”（见《哲学研究》§85）而就路标来说，并不涉及真实性和确定性的问题，而只关乎合适或有效的问题：“如果一个路标在正常的情况下能起到它的作用，它就是合适的。”（《哲学研究》§87）而对于设置路标的研究毕竟不是对人们现实的行走活动的研究。

维特根斯坦把将数学还原为逻辑的趋向称为逻辑对数学的“灾难性的入侵”，维特根斯坦不无讽刺地惊呼：“人们几乎要说，做家具就在于粘胶。”（v.7，p.209，V§24）

很明显，对于这种逻辑对数学的“灾难性的入侵”，直觉主义者和维特根斯坦的态度是非常一致的。相比而言，维特根斯坦更侧重于语言哲学方面的论证，这或许可以视作是对直觉主义主张的一种补充。

五、 形式主义——“意义不是死物”

前文提到，维特根斯坦的思想转折同时也受到形式主义派的影响，维特根斯坦承认“弗雷格没有看到形式主义的合理内核”正是他与弗雷格的重要区别所在（见v.2，p.110）。而维特根斯坦后期哲学，按塔西奇的说法“像是要在形式主义和浪漫主义观点之间达成一个妥协”[40]塔西奇甚至宣称，“就是这种摇摆不定，维特根斯坦的分裂人格的幽灵萦绕和渗透在大多数后现代思想之中。”[41]

情况也许并没有塔西奇说得那么复杂，事实上，形式主义与直觉主义两派本来就在许多方面立场相近的，维特根斯坦所推崇的某些形式主义的“合理内核”或许也恰是直觉主义能够接受的部分。在进一步讨论维特根斯坦对形式主义的态度之前，我们还是先对形式主义学派及其与直觉主义的关系作一些简要的评述：

形式主义的创始人为鼎鼎大名的希尔伯特，而稍后其学生冯·诺依曼（John von Neumann）也成了其追随者。这两位可以说是继庞加莱之后可数的两位数学巨匠（虽然庞加莱被誉为“最后一位数学全才”）！不过形式主义的追随者不算太多，而且主要是围绕在希尔伯特周围的数学家们，但其主张的影响范围则远远超出了数学界。

前文已经提及，希尔伯特率先否认了“无限”的现实性，他进而对逻辑主义者不加限制地在逻辑中接受无限提出了反对：“像‘在一个有限的总体中存在一个具有某一性质的对象’这样的陈述是完全符合我们的有限性方法的。而像‘或者p+1或者p+2或者p+3……或者（直至无限）……具有某一性质’这样的陈述则本身是一个无限的逻辑积。这样一种推广到无限的过程，如果没有进一步的解释和预防措施的话，是和微积分中从有限乘积到无限乘积的推广一样地不许可的。因此这种推广通常是没有意义的。”[42]“无限在现实中的任何地方都找不到。它既不存在于自然界中，也不为理性思维——存在与思维之间一种引人瞩目的和谐——提供合法的基础。与弗雷格和戴德金德以往的努力相反，我们认为要获得科学的知识，某些直觉的概念和洞察力是必要条件，单凭逻辑是不够的。以无限进行的运算只有通过有限性才能成为确定的。”[43]“作为应用逻辑演绎和实现逻辑运算的一个进一步的先决条件，在概念形成中必须有一些东西，即某些在一切思维之前作为直接经历的事物而被直觉到的逻辑以外的具体对象。”[44]“实质逻辑演绎是必不可少的。只有当我们作出任意的抽象定义，特别是那些包含无限多对象的抽象定义时，我们才被欺骗。在这些情况下，我们是不合法地用了实质逻辑演绎；也就是说，我们没有充分注意到那些为这种演绎得有效应用所必需的先决条件。在认识到存在着这些必需考虑的先决条件时，我们发现自己是和哲学家相一致的，尤其是和康德相一致的。康德教导我们——而且这是他学说的主要组成部分——数学处理的题材是与逻辑无关地被给定的。因此数学绝不能单靠逻辑建立起来。由此可知，弗雷格和戴德金德如此建立数学的企图是注定要失败的。”[45]

从以上摘引的大段文字看，简直就是在陈述直觉主义的主张（这也是我一口气摘引那么多文字的另一目的）！可见，在对逻辑主义的反对方面，形式主义与直觉主义确实是非常相似的。于是，在希尔伯特和他的学生们在1920到1930年为建立任何形式系统的相容性而逐步开展了所谓的希尔伯特证明论或元数学中，采纳了甚至直觉主义者都觉得可以接受的原理[46]，这也就不足为怪了。

但形式主义与直觉主义的分歧也是明显的：

希尔伯特不能容忍直觉主义者对经典数学已取得的成就的“破坏”，他坚持将“无限”保留在数学中，尽管它不可能存在于人的心智之外的任何地方，甚至也不在“逻辑”中合法，希尔伯特说道：“无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位，起着一个不可缺少的概念的作用。”[47]

要保留实无穷作为合法的概念，却又明知其意义不能“寄托”在经验的现实世界或超验的理念世界，希尔伯特也没有选择投靠先验论，那么，究竟还有什么地方能“寄托”这些数学概念的意义呢？希尔伯特的选择是：干脆不要在任何地方寻求数学概念的意义！或者说，数学概念的意义只在于数学系统本身。

于是，希尔伯特着手建立抽走了“意义”的形式系统，在希尔伯特看来，数学概念——例如直线、点——原来可能具有的与某些现实对象的直观联系都是不重要的，“直线”、“点”都只是一些符号，这些数学符号的意义只有在这些符号自身之间的联系中才能体现，例如“任意两点之间存在一条直线”这样一条数学陈述，以其它的符号替换，例如“任意两椅子之间存在一桌子”，并不会改变该陈述在数学中的意义！——“希尔伯特决定对所有逻辑和数学的叙述用符号形式来表达，这些符号，尽管它们可以表达直观上的意义的感知，但不能在他所提出的形式数学中找到解释。希尔伯特希望包括一些甚至可以表示无限集合的符号，但是他们没有什么直观上的意义。这些理想的元素，如希尔伯特所称，是建立所有的数学所必需的，所以它们的引入是合理的，尽管希尔伯特相信在现实世界中仅有有限个事物存在，事物又是由有限个元素所组成的。”[48]

也就是说，希尔伯特以将整个数学从现实和直观意义中剥离来回避“无限”的意义问题。希尔伯特与直觉主义一样，认为实无穷无论在现实中还是直观中都是没有意义的，然而他却通过抽离整个数学的直观意义来接纳实无穷！正如布劳维尔所说：“对形式主义者来说，数学的精确性只在于发展关系系列的方法，而与人们企图给予这些关系或这些关系所涉及的实体的意义无关。”[49]

这样，每一个数学元素都只是在与数学体系中的其它元素的相互关系中表达自己——“这些从数学上说是‘理论的’陈述，希尔伯特称之为‘理想元素’，把它们的引入比作射影几何学中引入‘无限远’的点：它们是作为使你们真正关注的事物的理论变得更为简单和优美的一种便利而引入的。如果它们的引入并不导致矛盾，并且如果它们具有这些另外的用处，那么这种引入就被证明是合理的：因此就要为一阶算术的完整体系寻求一个以执行证明。”[50]

也就是说，实无穷集的引入正如无限远点的引入那样，只是为了整个理论更为优美，为了其它拥有现实意义的运算更为便利，于是形式主义者迫切要解决的问题就是证明引入这些无意义的便利概念并不会造成系统的不一致。于是，希尔伯特创立了形式主义之后立刻向连续统问题投入研究，他提到：“我所发展起来的理论提供了连续统问题的一个解。证明每个数学问题都是可解得，是解决这问题的第一和最重要的一步。……”[51]

然而，希尔伯特关于“解答了连续统问题”的豪言从来没有真正实现过，甚至稍后将被证明是永远不可能实现的！希尔伯特的梦想注定要以破灭告终。

在此处我暂不继续讨论连续统问题，因为形式系统的一致性能否得到证明这一问题在直觉主义和形式主义间的分歧中根本是无关紧要的。

直觉主义认为，即使希尔伯特的形式化数学的相容性得到了证明，这种理论即这种形式化的数学也是没有意义的。外尔抱怨说希尔伯特是通过“一种彻底的重新解释”来“拯救”经典数学的，也就是把它形式化了，而实际上是抽取了它的含义。“这样就把它在原理上从直觉系统转移，而形成一个根据固定规则进行的公式游戏。”“希尔伯特的数学也许是一种美妙的公式游戏，甚至比下棋更有趣。既然它的公式并不具有公认的可借以表示直觉真理的实在意义，那么它与认识又有什么关系呢？”[52]

直觉主义者继续强调他们是依靠数学的意义来决定其正确与否的，而形式主义者（和逻辑主义者）却是与理想的或是无意义的超自然世界打交道的。布劳维尔说道：“随意使用亚里士多德逻辑会导致形式上有效而实质上无意义的论断，经典数学通过放弃许多逻辑结构中的含义而放弃了实在。”[53]

通常认为是反实在论的直觉主义的创始人竟在指责对手“放弃了实在”！事实上，直觉主义的立场是相当一致的：直觉主义者反对的是柏拉图主义式的实在论，而之所以他们如此反对数学上的实在论，一个主要的原因恰恰是他们重视和强调数学与“现实”的联系！

当然，直觉主义逻辑也可以，也需要被“形式化”，然而，这并不代表直觉主义接受了形式主义。布劳维尔的学生海廷最早将直觉主义形式化并真正建立起一套直觉主义逻辑系统，然而正是海廷本人明确指出：“用直觉主义数学的形式化来使形式主义和直觉主义相协调也是不可能的。诚然，甚至在直觉主义数学中，一个理论的完成了的部分也可以形式化。暂且研究一下这种形式化的意义会很有益。我们可以把这个形式系统看成是数学思想在一种特别合适的语言中的语言表达。”[54]对于直觉主义而言，所谓“形式语言”的根本作用正是恰如其名的——“语言”。“语言”的作用是方便人与人之间交流“思想”，一种越完善的语言越能够清晰准确地表达思想，但真正拥有意义的、真正重要的东西是超语言的。而且，海廷接着说道：“如果我们采用这种观点，那么我们就猛烈地撞上了语言在根本上是含糊的这个障碍。因为一个词的意义决不能精确地固定得足以排除各种误解的可能性，所以我们在数学上决不能保证形式系统正确地表达了我们的数学思想。（我按：这一主张更得到了勒文海姆—司寇伦定理的支持）”[55]

形式化是对作为交流工具的语言的完善（逻辑演绎规则等大概可以比作语法），这是重要的，但是语言的进步是后行于文化和思想的，将字母表传入一个原始部落并不会使他们拥有的知识增加多少。同样地，数学本身的发展总是先行于形式化的进展，数学的进步将使得形式化永远不可能被最终完成，海廷说：“形式化可以在数学内部完成，从而成为一种有力的数学工具。当然，人们决不会确信这个形式系统完全代表数学思想的任何领域；在任何时刻，新的推理方法的发现都将迫使我们去扩大这个形式系统。……直觉主义的进行独立于形式化，而形式化只能追随在数学构造的后面。”[56]

在对逻辑主义的反对方面，维特根斯坦与直觉主义和形式主义的立场都是相似的。而维特根斯坦与直觉主义一致：反对抽去数学的“意义”；反对割断数学与“现实”的联系；认为形式语言也是“语言”，而数学活动中真正有“意义”的东西是超语言的。以上这些在前文都已述及，此处不再赘述。另外，维特根斯坦也主张对数学的形式化或任何类似为数学搭建基础的工作只是对不断进展着的数学活动的事后记录，而并不是真正的“数学基础”，这一点将在稍后详述。

在维特根斯坦看来，数学确实是，但绝不仅仅是一套游戏规则。正如棋戏那样“不仅有规则，而且有旨趣。”（v.7，p.67，I-附录一§20）数学研究的并不是符号，正如象棋研究的并不是木头棋子（见v.4，p.270，§10）

维特根斯坦指出：“符号自身似乎都是死的。是什么给了它生命？它在使用中有了生命。它在使用中注入了生命的气息？——抑或使用就是它的生命？——符号本身是死的，使用是符号的生命。”（《哲学研究》§432）

维特根斯坦认为形式主义的数学，或者说某种类似于“某些符号可以根据某些规则从其他符号中构造出来”的活动，是数学被剥离了内容后的剩余（见v.7，p.117，III§38）这样的剥离了意义或内容的数学是没有生命的。

“意义”是什么？——维特根斯坦一方面反复强调“一个词在语言中的用法就是它的意义。”（v.4，p.51，§23）但同时也指出作为“最后的解释”的“意义”是某种不可解释、不可言说的东西——“每一个符号从原则上说都可以得到解释；可是意义不能得到解释。它是最后的解释。”（见v.6，p.46），可以说，在维特根斯坦那里，“意义”在于“用法”，但又不仅是用法。——“我们要说：‘意义的确从本质上说就是一种精神过程，一个意识和生命过程，不是死物。’”（v.4，p.139，I§100）

某种与直觉主义者相似的浪漫主义气质在这里表露无疑，在另一场合，维特根斯坦甚至指出某些数学家“把数学说成是并非心灵的创造”是“很可笑的”（见v.5，p.388）！

维特根斯坦甚至还将数学活动与音乐创作相提并论，他提到：“拿来一个与海登的主旋律相似的主旋律，拿来勃拉姆斯的一个变奏曲的一部分，并提出一个任务，即按照第一部分的风格构造第二部分。这是一个与数学问题属于同一类型的问题。”（v.7，p.285，VII§11）

正如塔西奇所说：“即使是对那些有名的浪漫的数学家来说，把数学和艺术等同也是过火了。不过，数学对逻辑还原论的批评所采取的主要策略是把这个类比详细发挥到一定程度。以这个观点看来——与各位逻辑学家的观点尖锐对立——数学是某种比数学文本或‘机械’地解码文本更多的东西。它是人类的一种活动，而文本顶多只是它的一个不完善的纪录，是数学意义创造的向导。”[57]在这里，维特根斯坦的策略与直觉主义者和浪漫主义者仍是一致的。

“我想要说明数学的丰富多彩。”（v.7，p.129，III§48）——维特根斯坦说道。

六、 约定主义——“语言与生活方式相关联”

前文关于形式主义的讨论掠过了一个问题：维特根斯坦所赞扬的形式主义的“合理内核”究竟是什么呢？

维特根斯坦提到：“形式主义中有些东西是正确的，有的是错误的。把每一种句法理解为一种游戏规则系统，这是形式主义正确的一方面。魏耶（即外尔——引者）曾说，形式主义者把数学公理理解为棋赛规则那样一种东西，他可能指的是种什么？我曾对此作过思考。我想说：不只是数学公理，而且一切句法都是随意的。”（v.2，p.67）

看起来，维特根斯坦后期哲学中的核心概念——“语言游戏”——与形式主义颇有渊源！

不过，维特根斯坦并没有真正坚持“一切句法都是随意的”，在维特根斯坦看来，人们不可能完全随意地制定语言游戏，人们并不是像形式主义所主张的那样，关注游戏规则的内部一致性，而是靠“本能”确定语言游戏（见v.7，p.173，IV§23）。而这种本能来自人们的生活方式，或者说风俗和文化——“语言与生活方式相关联”（v.7，p.255，VI§34）“属于语言游戏的是整个文化。”（v.12，p.331，§26）“只有一个人只那么一次遵从一条规则是不可能的……遵从一条规则，作一个报告，下一个命令，下一盘棋，这些都是习惯（风俗、建制）”（《哲学研究》§199）

前文已经提到，关于数学的确定性和可靠性从何而来的问题，维特根斯坦与主张“基本直觉”的布劳维尔有所不同，倒与直觉主义的先驱者庞加莱的约定主义更为接近。事实上，类似于“数学或科学是某种类似棋戏的行动规则”的思想既不是维特根斯坦，也不是形式主义者的独创。关于数学与棋戏的类比至少早在庞加莱以及更早的极端约定主义者勒卢阿那里就已经提出了：庞加莱在1907年所写的《科学与价值》一书中评论道：“在勒卢阿先生看来，科学仅仅是行动规则而已。……例如，人们为了娱乐，便制订了游戏规则，象博弈之类的规则，……与科学一样，博弈规则确实是一种行动规则，但是任何人试作一下比较，难道看不到它们的差别吗？游戏规则是一种任意的约定，即使采取相反的约定，亦无妨碍。与此不同，科学规则却是一种富有成效的行动规则。”[58]

值得一提的是，庞加莱同样从棋赛的类比出发，表达了与维特根斯坦的“棋赛不仅有规则，而且有旨趣。”相似的主张。他谈到：“假如你在观棋，要弄懂一盘比赛，仅知道棋子走动的规则是不够的。那只能使你辨认每一步符合这些规则，这种知识的确没有多少价值。如果读数学书的人仅仅是一位逻辑主义者，那么他也会这样做。要弄懂棋赛完全是另一回事；必须了解棋手为什么走这个棋子而不走那个棋子，他可以在不违犯下棋规则的情况下走那一步的。可以察觉出使这一系列相继的步子成为一种有机的整体的内在根据。有充分理由表明，对于棋手本人是有必要的，对发明家来说也是这样。”[59]

在维特根斯坦看来，数学和逻辑“像其他语言一样，依栖于约定之上。”（《哲学研究》§355）没有“一致认识”，就没有“按照规则行动”，也不会有算术（见v.7，p.262，VI§41；v.7，p.267，VI§45）“当然只有当一致性存在时，我们才能玩这种语言游戏。” （v.11，p.218，§430）不过，维特根斯坦特别强调“人们的一致认识，作为逻辑现象的前提条件，并不是意见的一致认识，更不用说是关于逻辑问题的意见的一致认识。”（v.7，p.270，VI§49）这种“一致认识”，指的是人们在行动上的一致——“语言现象立足于规律性之上，立足于行动一致之上。”（v.7，p.261，VI§39）——而这种看待事物方式上的一致源自于人们在其文化和习俗中所接受的技术的教育（见v.7，p.178，IV§35）

事实上，庞加莱的约定主义所强调的一致约定，似乎也并不只是指“意见”上的一致共识。庞加莱也对科学与语言的关系进行了深入的探讨，他提到科学也是某种“语言”，科学活动在某种意义上是语言的创造和翻译活动——“科学家就事实而创造的一切不过是他阐述这一事实的语言。”[60]“科学事实只不过是翻译成方便语言的未加工的事实而已。”[61]那么，这种语言的创造是否是任意的呢？不同文化背景和生活方式下的人们（或生物）是否可能创造出完全不能相互翻译的科学体系来呢？庞加莱问道：“存在着一些独立于这些约定的东西吗？也就是说，存在着一些可以起到一般不变性作用的东西吗？”庞加莱进而“设想更为奇特的生物，将使两种表述系统的共同部分越来越小”，那么这种共同部分是否可能小到完全没有呢？庞加莱继续讨论道：“即使既无译员亦无词典，如果德国人和法国人在相互隔绝的世界里生活了若干世纪之后突然接触，你能认为，在的与书籍中记载的科学与在法语书籍中记载的科学之间会毫无共同之处吗？法国人和德国人最终无疑会相互了解的。……这是因为在法国人和德国人之间，依然有某种共同之处，由于他们两者都是人。我们还能理解我们假设的非欧几何学家，尽管他们不是人，却仍然是某种具有人性的生物，但是在任何情况下即便是最低限度的人性也是必不可少的。”[62]

简单地说，庞加莱相信不同的表述系统终究会有某些共同之处，这使得不同文化的人们最终可以互相了解。庞加莱将这种共同之处归结为“人性”，而维特根斯坦则更为准确地将之归结为人们相似的“生活形式”——语言中的一致来自于生活形式的一致（见《哲学研究》§241）。

维特根斯坦曾经设想了一种独特的社会（见v.7，pp.55~56，I§148~151），在那里，人们关于“许多木柴”和“一点儿木柴”的理解和我们截然不同，使得我们在翻译方面遇到困难。维特根斯坦指出，这种语言使用方面的差异正是由于“他们付钱的整个方式和我们完全不同”，语言现象正是文化与习俗的表现。

维特根斯坦进而将数学与人类学相比较，他谈到：“数学命题是不是人类学命题，说的是我们人类如何推理和计算？——法典是不是一部人类学著作，告诉我们这个民族的人对小偷如何处理，等等？——能否这样说：‘法官查寻有关人类学的书，并据此判处小偷一段监禁’？嗯，法官并没有把法典当成人类学手册来使用。”（v.7，p.137，III§65）数学是人类的活动，数学的规则和命题都反映了人类的习惯，虽然人们并不将数学当作人类学看待，正如法官并不把法典当作人类学手册那样。在维特根斯坦看来：“显而易见，我们可以用数学著作来作人类学研究。”（v.7，p.141，III§72）在这方面，布劳维尔也曾宣称：逻辑和科学应该被“划为人种志”[63]！

七、 公理化运动——“数学不需要基础”

无论是逻辑主义还是形式主义，无论是弗雷格（Gottlob Frege）、罗素（Bertrand Russell）、希尔伯特还是策梅罗（Ernst Zermelo），“公理化运动”是他们的总括。他们都希望以欧几里得的方式，为整个数学建立起一套坚实稳固的基础。逻辑主义和形式主义的分歧在于前者认为数学公理都是逻辑的产物，而形式主义以形式系统内部的一致性来支持对公理的选择，但这些分歧相比而言是如此之小，以至于人们经常对逻辑主义和形式主义不加分辨。

然而直觉主义却置身整个潮流之外，对整个“严密化”、“公理化”的潮流进行了反思和批判。

直觉主义者并非反对公理和演绎的严密化本身，“公理化”就其本身的含义来说，是从欧几里得就开始的源远流长的数学传统，并非现代人的独创。然而现代人的问题是：他们过分地强调了“公理化”，过分地纠缠于发展严密化的逻辑演绎，而逐渐淡忘了一些更重要的、至少是同样重要的因素。

海廷说道：“直觉主义数学家建议把数学工作作为他的智力的一种自然功能，作为思想的一种自由的有生气的活动。在他看来，数学是人类精神的产物。他运用语言，不论是自然的或形式化的，只是为了交流思想，也就是使别人或自己能懂得他自己的数学想法。这个语言伴随物不是数学的代表，更不是数学本身。”[64]

严格性的要求是合理的，然而严格的要求针对的是数学的语言，数学发现（或者按维特根斯坦和直觉主义所说：“发明”，在这里没什么关系）并不是靠语言内部、靠摆弄文字游戏所得到的。正如庞加莱所说：“直觉是发明的工具。”至于严格的“证明”，其作用无非是跟随在数学的创造之后，核对和纠错，确保数学创造的可靠性，并以此作为“演示”成果的手段。

许多杰出的数学家都对人们过于推崇“证明”感到不满，哈代（Godfrey Harold Hardy）不无讽刺地说道：“严格说起来，根本没有所谓的数学证明；……归根到底，我们只是指出一些要点；……李德伍德（Littlewood）和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人所编造的一堆华丽词藻，是讲演时用来演示的图片，是激发小学生想象力的工具。”[65]

甚至是《数学原理》的作者怀特海（A.N. Whitehead）和罗素也并不对逻辑和“证明”有多少好感，怀特海在一次讲演中说道：“逻辑被认为是思想发展的充分分析，事实上并非如此。它是一种绝妙的工具，但它还需要有一些常识作背景……。哲学思想的最终形式不能建立在构成特殊学科基础形式的精确阐述之上，所有精确性本身就是虚构的。”[66]

即使是完全遵循逻辑化纲领的罗素，也对逻辑极尽挖苦之能事。在《数学原理》中，他写道：“证明的一个主要优点，就是它向我们逐渐灌输对所证明的结果的某种怀疑。”他又说，“人们尝试把数学建立在一个由没有明确定义的概念和命题组成的系统上，正是从数学的这一本质推知：结论可以被矛盾否认，但绝不会被证明。一切都最终依赖于直觉的理解。”[67]

倾向于直觉主义的数学家勒贝格（Henri Lebesgue）说：“逻辑可以使我们拒绝某些证明，但它不能使我们相信任何证明。”[68]

在许多数学家看来，“数学发展不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上。正如阿达马（Jacques Hadamard）指出的，严密化仅仅是批准直觉的战利品，或者像外尔（Hermann Weyl）所说，逻辑是数学家保持其思想健康和强壮的卫生学。”[69]

直觉主义将逻辑比作“卫生手段”是相当贴切的。直觉主义从不否认逻辑的重要意义，然而，好比说：直觉是数学的血液——它提供能量和动力；而经验是数学的食粮，数学家们从经验中汲取养分；而逻辑则是“卫生手段”、增强体质和防病治病的保健品和药品，帮助数学趋于稳定、成熟和完善。以这样的比喻来看，各要素间的地位关系就一目了然了，直觉使数学获得生命，经验使数学成长，而逻辑则使数学强壮。但忘记了甚至抛弃了血液和食粮，光靠药品，非但不能保持强壮，连生命都无法维持。

对于公理化运动的反对，维特根斯坦的态度又与直觉主义者完全一致。他反复强调“不存在元数学”（如v.4，p.271，§10；v.4，p.276，§12等）

维特根斯坦说：“数学为什么需要一个基础呢？！我相信，数学不需要这样的基础，正如那些涉及物理对象的命题或者那些涉及感觉印象的命题不需要分析一样，不过，数学命题也如其他命题一样，的确需要对它们的语法作出说明。关于所谓基础的数学问题在我们看来不是数学的基础，正如画出的岩石不是画出的城堡的基础一样。”（v.7，p.291，VII§16）

“画出的岩石不是画出的城堡的基础”的比喻让人联想到著名数学史家M·克莱因[70]的另一个比喻：“一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。”[71]

维特根斯坦指出“逻辑和数学并不是以公理为基础的。”，“一个体系是否以最初的原则为基础，或者它是否只是从它们之中推导发展出来的，这是不同的两回事。下面这两种情况也是完全不同的：它是否就像一座房屋建在它最矮的墙上，或者，它就像一个天体自由地漂浮在我们正在下面开始进行建设的空中，虽然我们也可以建在任何别的地方。”（v.4，p.277，§12）维特根斯坦认为，即便可以使逻辑公式与数学相一致，“这个事实决没有表明数学立足于逻辑之上。”[72]因为数学活动在我们开始建设所谓的逻辑基础之前早就自由地发展着了。维特根斯坦表示“我审查的是数学家的活动记录”（v.4，p.275，§11）他更侧重的是“从行动的角度去观察数学”（v.7，p.278，VII§5）

与直觉主义者一样，维特根斯坦认为数理逻辑或者诸如公理化、形式化、严密化的工作，充其量也只是数学的内容（例如v.5，p.364，§1）前文已有提及：在维特根斯坦看来，数学是不断发展着的人类活动，“数学不是有严格界定的概念”（Vol.7，p.223，V§46）。

数学家F·克莱因说得好：“事实上，数学已经长得像颗大树，但它不是从最细的根部开始生长的，也不是只向上生长的，相反，在枝、叶扩展的同时，它的根向下扎得越来越深……。那么，我们就能看出，数学中的基础是没有最终结局的，从另一方面讲，也没有一个最初的起点。”[73]

数学是生长和发展着的，“数学基础”可以算作数学中的一个领域、一个分支，它与整个数学一样，也将是发展着的，没有最终的结局的。任何希望一劳永逸地为数学提供一个绝对坚实、固定不移的基础并规定数学的明确界限的努力都只是幻想，数学的不断发展将会给所谓的数学基础领域带来新的问题。不可能一劳永逸地制定数学的全部规则，正如维特根斯坦所言：“我们不是也有‘边玩边制定规则’这样的情况吗？而且也有我们边玩边修改规则的情况。”（《哲学研究》§83）随着数学活动的进展，数学的游戏规则也将是不断改变着的。

虽然在事实上，我们看到直觉主义关于数学基础方面主张的连贯和稳定是其它学派不可相比的，但直觉主义者对“为数学提供确定不移的坚实基础”的野心却远不及其它派别强烈。海廷同意实用主义的看法：“先是一个探索者，然后才是哲学家。而且如果我们愿意的话，可以把后者留给别人。”[74]在他的对话体文章“论辩”中的最后场景是：直觉主义者把大家领进课堂，讲述直觉主义数学的“样品”——“比起冗长的讨论来，几节课将会使你们对它获得更好的理解。”[75]

直觉主义者并没有执著于为“什么是数学”提供权威的、独断的解答，他们从未在纠缠不休的哲学争论中泥足深陷，他们始终更关注的是数学活动本身，同时关注着自然科学，甚至最终是关注着日常的生活，并以亲身的实践来诠释他们的立场。海廷说道：“在描述直觉主义数学时，我是把思想传播到我的听众那里去；这些语句不应当在某种哲学系统的意义上，而应当在日常生活的意义上去理解。”[76]

这种“应当在日常生活的意义上去理解”的态度，当然是与后期维特根斯坦的旨趣完全一致的。维特根斯坦说道：“哲学不可用任何方式干涉语言的实际用法，因而它最终只能描述语言的用法。因为它也不能为语言的用法奠定基础。它让一切如其所是。它也让数学如其所是，它不能促进任何数学发现。对我们来说，‘数学逻辑的首要问题’也是个数学问题。就像任何其他数学问题一样。”（《哲学研究》§124）

八、 纯粹数学——“应用是至关重要的”

与直觉主义从不想与“数学”敌对，然而对实无穷的拒绝与对排中律的限制导致了他们将对主流数学已经取得的“大量成果”造成巨大的破坏。而这其实是许多人拒绝直觉主义的真正原因，他们有时甚至没有耐心了解直觉主义的主张和思想，只是看到“数学”的成就被如此“破坏”，便感到不可容忍了。

然而，直觉主义对数学的“破坏”究竟是否真的那么重要呢？现代的主流数学不愿舍弃的东西真的如此意义重大吗？

我们需要从现代数学的另一个显著的发展趋势说起：那就是数学的“孤立化”。

孤立化的趋势与柏拉图主义化、公理化、形式化等趋势是相互联系的。前文已提到：数学与物理实在的联系开始被割断，无论是柏拉图主义试图将数学寄托在超验世界，还是逻辑主义试图使数学投靠逻辑，或是形式主义试图将数学看成自给自足的符号体系，他们的共同努力正是要让数学不再需要依附经验科学。

这种趋势最早从数论与几何地位的颠倒开始，这一颠倒的整个过程恰恰是与近代科学的崛起相关的。

在柏拉图到帕斯卡（Blaise Pascal）的所有数学传统中，“几何学”无可置疑地是整个数学的“基础”，帕斯卡说过：“一切超越了几何的都超越了我的理解力。”[77]从毕达哥拉斯和欧几里得开始，几何学始终是算术的基础而不是相反。数学最初的公理化由几何学开始。因为几何学被是直接与物理世界相关的，是对物理空间和物理实体的数学抽象，人们靠表达式的“几何意义”来理解算术。例如，长期以来数学家们都不愿接受3次方以上的幂运算，因为那没有空间意义！事实上，维特根斯坦与这些古典数学家更为接近，他也认为“证明的逻辑确定性并未超过其几何确定性。”（v.7，p.122，II§43）

但自从笛卡尔发明解析几何以来，情况被整个地颠倒过来，人们首先是接受了算术的独立性，认为算术的意义也是自明的，例如在康德那里，算术与几何直观的地位是平等的。最后非欧几何的兴起给了决定性的一击——人们似乎变得不再能“理解”几何了！于是，失去直觉支持的几何学只得投靠算术。

而算术的特点是：它是最为远离现实的。事实上，在1900年以前，在全部数学分支中唯一的算得上“为数学而数学”，或为追求“美”而探索的“纯粹数学”正是数论。而数学的其它所有分支，不仅始终与实际的经验科学紧密相联，甚至这些分支的创建往往本来就是为了处理某些物理问题的——甚至连非欧几何都不例外！触发高斯（Gauss）等人提出非欧几何时的动机并不是“把这条公理换掉，看看我能搞出什么？”，而是“物理空间真的是欧氏的吗？”，为此高斯还特意利用三个山峰进行实地测量。

正如M·克莱因所说：“对于1900年以前所创建的数学，我们可以得出一般的结论：存在纯粹数学，但不存在纯粹数学家。”[78]所谓“纯粹数学”就是数论，然而数论往往只是那些大数学家们业余消遣的玩物，甚至连其它数学领域也往往不是数学家们的正务，他们的职业往往是天文学教授、物理学教授等。

当然，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”，数论中的难题被誉为“皇冠上的明珠”等待着最伟大的数学家摘取。这象征着什么呢？——“皇后”象征着“高贵”、“至美”，数论的高贵令人陶醉和迷恋。然而这并不意味着高斯认为数论是数学的根源、数学是科学的根源。事实毋宁说是相反。正如整个科学不会是源于数学这个皇后，而是源于自然、源于经验；数学的根基则在于自然科学，而不是高高在上的数论。

而到了现代，由于算术与几何的地位交换，数论成了整个数学的“基础”，这也难怪这位皇后正变得越来越“高傲”和“自满”了。

结果是：到19世纪末，盛行的看法是：数学里的一切公理都是任意的，公理只不过是导出结论的推理的基础。既然公理不再是关于包含在它里面的概念的真理，于是也就不用去管这些概念的物理意义了。当公理与实在之间产生某种联系的时候，这种物理意义至多只能是发现（真理）的向导。即使是从物理世界抽象出来的概念也是这样。[79]

在现代，认为数学独立于经验、超然于自然科学的观点成为了数学界的主流，M·克莱因无奈地说：“现在常可听到和谈到数学家们关于独立于科学的论调。数学家们现在已经可以毫不犹豫地、随随便便地说，他们只关心数学本身，而对科学没有兴趣。虽然没有精确的统计，但今天活跃在数学舞台上的数学家中，约有90%的人都无视科学并且陶醉于这种至福境地。尽管有历史的佐证和一些反对之声。但是，抽象主义趋势，为了一般化而一般化的趋势以及研究随意选择的问题的趋势愈演愈烈，说什么这是为了更多的了解具体事例而研究一整类问题的合理需要，是为了得到问题的实质而进行抽象化的合理需要，都不过是一个借口，他们的目的只是为了研究一般化、抽象化。”[80]

作为19世纪末数学界的领袖，庞加莱和F·克莱因（Felix Klein）都预见到了这种趋势，并为之深感忧虑。F·克莱因在1895年说道：“在现代思维的急速发展中，我们禁不住要担心，我们的科学面临着越来越独立的危险。自现代分析兴起以来，对数学和自然科学双方都有裨益的二者之间的紧密联系，正面临着被破坏的危险。”[81]

人们可能不容易理解直觉主义竟对数学与自然的关系如此注重，事实上，这一立场从直觉主义的先驱者开始始终是一贯的。不愿意与自然相割裂正是直觉主义者抵触逻辑主义和形式主义的重要原因。庞加莱说道：数学“不必单只为了自己的缘故而永久地注视自己的肚脐；它与自然相联，而且必然会有回归自然的一天。那时必然要将这些纯语言的定义抛弃，而且不会再为这些空洞的词语所蒙蔽。”“逻辑主义必须加以修正，而人们一点也不知道还有什么东西可以保留下来，毋需多说，这里指的是康托尔主义和逻辑主义；真正的数学，总有它实用的目的，它会按照它自己的原则不断地发展，而不理会外面狂烈的风暴，并且它将一步一步地去追寻它惯常的胜利，这是一定的，并且永远不会停止。”[82]

另一位直觉主义的先驱者：克罗内克[83]曾写信给亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz 德国物理学家，能量守恒定律的提出者）时说道：“您的合情合理的实际经验以及有兴趣的问题，造成的财富将给予数学以新的方向和新的刺激——片面的、内省的数学思索把人们引向不毛之地。”[84]

现代另一些大师级的数学家也从不忽视自然科学。希尔伯特在转向数学基础问题之前正在钻研的正是物理学的问题；而冯·诺依曼也指出：“无可否认，数学上某些最了不起的灵感，那些想象之中纯得不能再纯的数学部门中最好的灵感，全部来源于自然科学。”[85]

然而，大师的追随者们总是不及大师们清醒，“纯粹化”、“孤立化”确实是现代数学发展的潮流，甚至于在数学家中，“应用数学”简直已经成为了一个带羞辱性的词语，被那些“纯”数学家用来指责那些“不务正业”、“误入歧途”的人，对此本身作为应用数学家，在电磁学方面颇有造诣的M·克莱因深有感触，他不无抱怨地说道：“不对它所服务的客观对象加以考虑，势必导致它的自我终结。纯数学本身不是一个至福境界。数学的目的在于发现值得了解的事物，但是，按照目前的情况，研究导致了研究，由此又导致了研究。在今天的数学殿堂中，已没有人敢问意义和目标。数学不能被现实的俗物所沾染，厚厚的象牙塔挡住了深居其间的学者的视线，而这些与世隔绝的头脑也满足于孤立的境地。”[86]

我无意指责所谓的“纯粹数学”，在另一些场合里我将对为数学而数学的纯粹数学致以最高的赞美，正如我们赞美诗歌和艺术那样，谁能说艺术活动毫无意义呢？人类存在的意义并非必须与“实用”有关。然而，为了自我满足、自我陶醉，离开自然科学与现实世界，在纯粹数学的象牙塔中孤芳自赏——这种倾向确实是不健康的。因为数学与自然的联系不再那么清晰和确定，数学不再能提供绝对的客观真理，就干脆不再在意它们的关系，这无疑是一种懒惰和逃避。

维特根斯坦虽然回避对“自然”问题的讨论，但他对数学与“现实”的关系的强调是显而易见的。维特根斯坦特别强调数学的应用，例如他强调：“数学所欲的应用是至关重要的” （v.7，p.192，V§5)“可以想像，人们有应用数学而无纯数学”（v.7，p.169，IV§5）等等

直觉主义的几位代表人物也都非常重视应用数学，外尔更对数学物理做出了大量的贡献。他说道：“启发式论据以及其后爱因斯坦广义相对论中的系统结构，或者海森堡—薛定谔的量子力学是多么令人信服并接近事实啊！一种真正的数学应该和物理学一样被当作是真实世界的理论结构的分支，并且我们应该用同样严肃谨慎的态度去对待其基础的扩展，就如同对待物理学一样。”[87]

外尔肯定数学反映了自然的秩序。在一次谈话中，他说道：“自然界固有一种隐含的和谐，它反映在我们头脑中的影像则是简单的数学定律。这便是为什么自然界现象可以通过观察和数学分析相结合而预知的原因。在物理学史上，这种内在和谐的概念，或者说这种梦想，出乎我们意料地一次又一次被证实。” [88]

前文也已提到过，直觉主义不仅重视数学与自然科学的联系，更强调数学本身就是自然科学，一切真理都来自于经验，而自然是对科学理论唯一的、最终的裁判。

当然，自然的权威是得到许多论者的支持的，蒯因说过：“我们将采取看待自然科学的理论部分的方式来看待集合论与整个数学。这些真理或假设与其说是为纯粹的推理所支持，还不如说是对自然科学中经验数据的组织所做的见解的、系统的贡献。”[89]M·克莱因则提到：“人们现在知道数学基础的不确定性以及对数学逻辑的疑问即使不能够被解决，也可以通过加强它在自然上的应用来回避。”[90]哥德尔也想到了相关的问题：“除了数学直觉以外，存在数学公理真理性的另一（虽然只是或然的）判据，即它们在数学中，或许还可以加上再物理学中，是富有成果的。”[91]

那么，自然的判据对哪一方有利呢？看上去强调数学的应用性是对直觉主义者不利的，因为论成果的“丰富”，直觉主义数学远远不能与经典数学相比。

然而，首先需要指出：哥德尔所言“在数学中是富有成果的”这一方面，如果只是看纯粹的数学本身的成果，对直觉主义毫无疑问是极为不利的，因为直觉主义数学可能得到的几乎所有成果都可以由经典数学得出。但是直觉主义对现有的数学体系“破坏太大”来驳斥直觉主义并不令人信服。联想一下“占星术”的火热吧——占星术的历史比天文学更为悠久，而当今世界上“星占学”的“研究者”和“学习者”大概比天文学家还多（至少在美国，占星术师的数量比起天文学家占压倒性优势），其学说理论无疑也是“发展得非常丰富”，而且天文学也可以被完全饱含在占星术之内。但科学家们会认为那一切都是从一开始就走错了方向，其最基本的预设：“人的命运与星象有关”就是错误的！在错误的预设下发展起来的理论，其成果越多只能意味着其谬误越多。

如果否定了占星术的前提，千百年来被辛辛苦苦建立起来的庞大的理论体系便要垮台，无数占星术师将“无事可做”，牺牲太大啦！——这样一种对占星术的辩护是有理的吗？恐怕不是。那么对数学的辩护呢？

直觉主义者认为：直觉主义数学固然远比经典数学“贫乏”，但却包含着更多的真理！

那么在物理学中的应用呢？客观地说，直觉主义的应用数学确实也比不上经典数学成绩斐然，不过简单的原因仍是：所有直觉主义的数学成果几乎都可以看成是经典数学的成果。

但是，必须在认可实无穷才能得到的成果真的有很多实际的应用吗？在物理学上应用广泛的微积分是可以用潜无穷而不用诉诸实无穷来解释的——这正是微积分的创立者们的坚持。至于另一些反直觉的结论，例如“可以把一个球切割成有限份经简单的平移和旋转重新组合成两个一模一样的球”——即巴拿赫—塔斯基悖论（Hausdorff-Banach-Tarski paradox），一旦认可选择公理，这即成为一个数学定理——可能会在任何时候有什么实际应用吗？要真能开发出这种比炼金术还诱人的无中生有的技术倒是真不错，但谁都知道这是不可能的。许多数学家们甚至不觉得这个定理有任何麻烦之处，反而经常以此为例来强调数学的奇妙：“你看，在现实世界中那么荒唐得的事情，在数学世界中却被证明了。多神奇！多美妙！”我承认，若要向门外汉展示一些数学中引入入胜的案例以激发他们的好奇心，分球怪论之类确是很好的题材，但若要向分配科研预算的官员解说我的数学研究除了自娱自乐以外还有没有什么本领时，相比于“我能把石头炼成金子！”来说，“我能把一个搞成两个！”也不是多么值得炫耀的事情。[92]

M·克莱因更是以数学史家的权威提醒道：“我们注意到，在过去曾经精力旺盛地热情地从事过的许多领域，曾被它们的拥护者誉为数学的精髓所在，其实只不过是一时的爱好，或者在整个数学的征途上只留下少许的影响，上半世纪有信心的数学家们可能会认为他们的工作是最重要的，然而，他们的贡献在数学史上的地位，现在还是不能确定的。”[93]对于现代数学从实无穷中得到的丰富而巨大的“成就”，为之沾沾自喜还言之尚早。

对直觉主义者来说，舍弃那些看来美好的成果，“非但没有付出代价，而且是大获全胜，因为逻辑、数学、认识论、语义学和形而上学终于都取得了和谐一致。”[94]

而后期维特根斯坦的哲学，对于直觉主义者所取得的“和谐一致”提供出了新的补充：直觉主义者将发现他们的主张在经历了语言学转向的现代哲学那里也找到了支持。

同时，后期维特根斯坦或直觉主义的数学哲学也与数学哲学在二十世纪后半叶的发展趋势相合拍：

按照郑毓信[95]，在科学哲学的影响下，数学哲学在二十世纪后半叶发生了诸如重视“科学史研究”（维特根斯坦对数学作为人类活动的强调）、重视数学的“社会—文化性质的分析”（维特根斯坦所强调的习俗与建制）、对数学“经验性”的肯定以及对“数学与其它自然科学同一性的确认”、走出柏拉图主义、对“数学方法论”的重视（维特根斯坦对数学的“规范性”的强调以及对心理学/教育学的重视[96]）、对于“实际数学工作者”的重视（维特根斯坦所强调“从行动的角度去观察数学”）等等一系列重要变革和转向。

我们发现，这些所谓的重要变革几乎都与维特根斯坦的主张相关。关于维特根斯坦数学哲学的重要意义，想必不用再多说了吧。

参考文献

维特根斯坦：《哲学研究》，陈嘉映译，上海人民出版社2005年

涂纪亮主编：《维特根斯坦全集》，河北教育出版社2003年

第一卷 逻辑哲学论等（陈启伟译）

第二卷 路德维希·维特根斯坦与维也纳小组（黄裕生、郭大为译）

第三卷 哲学评论（丁冬红、郑伊倩、何建华译）

第四卷 哲学语法（程志民译）

第五卷 维特根斯坦1930—1932年剑桥讲演集，1932—1935年剑桥讲演集（周晓亮、江怡译）

第六卷 蓝皮书；一种哲学考察（褐皮书）（涂纪亮译）

第七卷 论数学的基础（徐友渔、涂纪亮译）

第八卷 哲学研究（涂纪亮译）

第十一卷 杂评；纸条集（涂纪亮、吴晓红、李洁译）

第十二卷 评弗雷泽的《金枝》；直觉意识等（江怡译）

涂纪亮：《维特根斯坦后期哲学思想研究》，江苏人民出版社2005年

[美]贾可•辛提卡：《维特根斯坦》，方旭东译，中华书局2002年

[加]弗拉第米尔•塔西奇：《后现代思想的数学根源》，蔡仲戴建平译，复旦大学出版社2005年

[美]保罗·贝纳塞拉夫希拉里·普特南编：《数学哲学》，朱水林应制夷凌康源张玉纲译，陈以鸿王善平校，商务印书馆2003年

[美]M·克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年

[美]M·克莱因：《数学与知识的探求》，刘志勇译，复旦大学出版社2005年

[美]莫里斯•克莱因：《古今数学思想》，邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年

[波]安德热依·莫斯托夫斯基：《数学基础研究三十年》，郭世铭陈安捷修庆云译，康宏逵校，华中工学院出版社1983年

[法]彭加勒：《科学的价值》，李醒民译，光明日报出版社1988年

[德]康德：《纯粹理性批判》，李秋零译，杨祖陶校，中国人民大学出版社2004年

[美]R·柯朗 H·罗宾：《什么是数学》，左平张饴慈译，复旦大学出版社2005年第二版

郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年

陈波：《逻辑哲学》，北京大学出版社2005年8月

胡作玄邓明立：“名冠数学的哲人——弗兰克·拉姆齐”，自然辩证法通讯，2000年第3期

杜汉生：“数学与维特根斯坦的哲学”，湖北师范学院学报（哲学社会科学），1998年第4期

郑毓信：“科学哲学对于数学哲学现代发展的重要影响——兼论数学哲学中的革命”，南京大学学报（哲学•人文•社会科学），1999年第1期

---

[①]叶闯：“数学:一种特殊的语言游戏——评维特根斯坦后期数学哲学”，自然辩证法通讯1992年第4期

[②]参考胡作玄邓明立：“名冠数学的哲人——弗兰克·拉姆齐”，自然辩证法通讯，2000年第3期

[③]本文所引《哲学研究》译文选自陈嘉映译本（上海人民出版社2005年），而其余维特根斯坦著作皆引自涂纪亮主编：《维特根斯坦全集》，河北教育出版社2003年；以诸如“v.7，p.173，IV§23”（第7卷，第173页，第四部分第23节）的形式标注。

[④]又译魏尔、魏耶、外耳等，是形式主义派创始人希尔伯特的学生，也是直觉主义的追随者。

[⑤]杜汉生：“数学与维特根斯坦的哲学”，湖北师范学院学报（哲学社会科学），1998年第4期

[⑥]顺便提一下，可能正如逻辑主义派对英美分析哲学产生决定性的影响，直觉主义与形式主义也对现代欧陆哲学影响深远，在某种意义上也是后现代思潮的“根源”之一。参考[加]弗拉第米尔•塔西奇：《后现代思想的数学根源》，蔡仲戴建平译，复旦大学出版社2005年。

[⑦] [法]彭加勒：《科学的价值》，李醒民译，光明日报出版社1988年，第197页

[⑧] [美]贾可•辛提卡：《维特根斯坦》，方旭东译，中华书局2002年，第33页

[⑨]虽然这句话在其上下文中有具体的所指，但这句话确能反映维特根斯坦后期哲学的基本旨趣。

[⑩]来自布劳维尔。见[加]弗拉第米尔•塔西奇：《后现代思想的数学根源》，蔡仲戴建平译，复旦大学出版社2005年，第68页

[11] [加]弗拉第米尔•塔西奇：《后现代思想的数学根源》，蔡仲戴建平译，复旦大学出版社2005年，第72页

[12]涂纪亮：《维特根斯坦后期哲学思想研究》，江苏人民出版社2005年，265页

[13]这里的“意义”沿用传统的理解，事实上直觉主义同时主张：“意义并不取决于真值条件”

[14]米歇尔•杜麦特：直觉主义逻辑的哲学基础：见《数学哲学》，第132页

[15]涂纪亮：《维特根斯坦后期哲学思想研究》，江苏人民出版社2005年，270页

[16] L.E.J.布劳维尔：意识、哲学和数学：见[美]保罗•贝纳塞拉夫希拉里•普特南编：《数学哲学》，朱水林应制夷凌康源张玉纲译，陈以鸿王善平校，商务印书馆2003年，第104页 （本书在下文的注释中简记为“《数学哲学》”）

[17]保罗•贝纳塞拉夫：《数学哲学》导言：见《数学哲学》，第26页

[18] [加]弗拉第米尔•塔西奇：《后现代思想的数学根源》，蔡仲戴建平译，复旦大学出版社2005年，第56页

[19]《纯粹理性批判》[A526 B554]，参考李秋零译本

[20]例如在v.7，p.71，I-附录二§6~7，关于“掷骰子和游戏中数点数的区别”：“但在紧急关头，一个头脑简单的人不也可以和一般人一样利用数点数来作出抽签式的决定。我们注意到，在作出选择的过程中，结果已经在暗中商定好了，那个使我们注意到这一点的东西起了什么作用？”

[21]参考[美]爱德文•阿瑟•伯特：《近代物理科学的形而上学基础》，徐向东译，北京大学出版社2003年

[22]大卫•希尔伯特：论无限：见《数学哲学》，第214页

[23]保罗•贝纳塞拉夫：《数学哲学》导言：见《数学哲学》，第7页

[24]保罗•贝奈斯：论数学中的柏拉图主义：见《数学哲学》，第301页

[25]见[美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第203页

[26]见郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年，第61页

[27]保罗•贝纳塞拉夫：《数学哲学》导言：见《数学哲学》，第34页

[28]同上

[29]阿伦特•海廷：数学的直觉主义基础：见《数学哲学》，第61页

[30]米歇尔•杜麦特：直觉主义逻辑的哲学基础：见《数学哲学》，第137页

[31]鲁道夫•卡尔纳普：数学的逻辑主义基础：见《数学哲学》，第48页

[32]同上，第57页

[33]同上，第60页

[34]库尔特•哥德尔：康托尔的连续统问题是什么？：见《数学哲学》，第560~561页

[35] [法]彭加勒：《科学的价值》，李醒民译，光明日报出版社1988年，第202页

[36]陈波：《逻辑哲学》，北京大学出版社2005年8月，第60页

[37]同上，第61页

[38]阿伦特•海廷：论辩：见《数学哲学》，第82页

[39] L.E.J.布劳维尔：意识、哲学和数学：见《数学哲学》，第111页

[40] [加]弗拉第米尔•塔西奇：《后现代思想的数学根源》，蔡仲戴建平译，复旦大学出版社2005年，第195页

[41]同上，第198页

[42]大卫•希尔伯特：论无限：见《数学哲学》，第222页

[43]同上，第231页

[44]同上，第220页

[45]同上

[46]见[美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第253页

[47]大卫•希尔伯特：论无限：见《数学哲学》，第214页

[48] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第250~251页

[49] L.E.J.布劳维尔：直觉主义和形式主义：见《数学哲学》，第91页

[50]保罗•贝纳塞拉夫：数学真理：见《数学哲学》，第470~471页

[51]大卫•希尔伯特：论无限：见《数学哲学》，第231页

[52] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第256页

[53]同上，第255页

[54]阿伦特•海廷：论辩：见《数学哲学》，第81页

[55]同上

[56]同上

[57] [加]弗拉第米尔•塔西奇：《后现代思想的数学根源》，蔡仲戴建平译，复旦大学出版社2005年，第46~47页

[58] [法]彭加勒：《科学的价值》，李醒民译，光明日报出版社1988年，第312页

[59]同上，第201页

[60]同上，第312页

[61]同上，第319页

[62]同上，第327页

[63]见[加]弗拉第米尔•塔西奇：《后现代思想的数学根源》，蔡仲戴建平译，复旦大学出版社2005年，第67页

[64]阿伦特•海廷：数学的直觉主义基础：见《数学哲学》，第60页

[65] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第323页

[66]同上，第323~324页

[67]同上，第324~325页

[68]同上，第324页

[69] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第99页

[70]同时是应用数学家和数学教育家，对直觉主义比较同情。

[71] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第283~284页

[72] C. Diamond (ed. ), Wittgenstein’s Lectures on the Foundations of Mathematics, 1976, p.260转引自涂纪亮：《维特根斯坦后期哲学思想研究》，江苏人民出版社2005年，261页

[73] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第325页

[74]阿伦特•海廷：论辩：见《数学哲学》，第88页

[75]同上，第88页

[76]同上，第88页

[77] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第98~99页

[78] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第288页

[79] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第110~111页

[80] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第311页

[81]同上，第294页

[82]同上，第228页

[83]我们经常指责克罗内克对其学生康托尔的刻薄。确实，作为老师克罗内克是不称值的，但我们也该注意到，作为一位思想家，他的思想被忽视的时间比康托尔还要长！直到康托尔的集合论被发展成熟以至到出现悖论时，克罗内克才被人重新想起。

[84] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第113页

[85] [美]M•克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2003年，第307页

[86]同上，第310页

[87]同上，第340页

[88]同上，第359页

[89]同上，第341页

[90]同上，第338页

[91]库尔特•哥德尔：康托尔的连续统问题是什么？：见《数学哲学》，第561页

[92]值得指出的是，直觉主义与主流数学的矛盾并不是不可化解的。按照直觉主义的主张，经典数学在另一种意义上也是值得保留的。许多有价值的定理都是先发现了一个非构造性的证明，引起关注后经进一步的研究后找到了构造性的证明。即便说非构造性的证明“不合逻辑”，正如直觉主义本身强调逻辑并非一切，直觉和创造力在数学发展中具有重大意义那样，直觉主义者至少可以承认经典数学的启发性的意义。事实上，许多直觉主义的倡导者们，例如克罗内克、布劳维尔和外尔，在他们的实际的数学研究工作中常常如庞加莱所说，“忘记了他们的哲学”，他们自己取得的许多数学成就正是不符合直觉主义数学的。我们不该指责他们心口不一，事实上，他们仍是思想一贯、言行一致的，他们以直觉作为研究的动力和根本，以自然作为研究的追求和归宿，至于逻辑，到最后再用它回头来做检查吧。

[93] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（第四册），邓东皐张恭庆等译，上海科学技术出版社2002年，第116页

[94]保罗•贝纳塞拉夫：《数学哲学》导言：见《数学哲学》，第27页

[95]参考郑毓信：“科学哲学对于数学哲学现代发展的重要影响——兼论数学哲学中的革命”，南京大学学报（哲学•人文•社会科学），1999年第1期

[96]心理学哲学也是维特根斯坦后期哲学中的重要部分，不过与本文主题关系较远，因此并未展开讨论。

最新评论

• 某人

  2007-05-18 11:43:53 匿名 207.47.202.52

  海廷接着说道：“如果我们采用这种观点，那么我们就猛烈地撞上了语言在根本上是含糊的这个障碍。因为一个词的意义决不能精确地固定得足以排除各种误解的可能性，所以我们在数学上决不能保证形式系统正确地表达了我们的数学思想。（我按：这一主张更得到了勒文海姆—司寇伦定理的支持）”
  
  ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

  这段没太看明白，语义的不精确是怎么转到司寇伦定理上去的？

• 古雴

  2007-05-18 15:09:02

  对不起，这段话应该删掉的……

• 古雴

  2007-05-18 15:25:18

  以前写的关于这个：
  
  （不过我对这方面数学不熟，光是引用一些说法也不一定自己理解了，所以这次论文不用了。）

  这是“由勒文海姆（Leopold Lowenheim）1915年开始的，通过从1920年到1933年之间斯科伦（Thoralf Skolem）发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷。”  
  勒文海姆—司寇伦定理说，可满足的一阶理论（使用可数语言）有一个可数的模型。

  也就是说，当我们为集合论语言选取一个可数模型时，将出现一些在“相对意义”上不可数的集合，

  从一个模型的角度看来是“可数的”集合，从另一个模型的角度看来却可能是不可数的几何。正像司寇伦所总结的，“在公理集合论范围内，甚至‘有限’、‘无限’、‘简单无限序列’等概念原来也是相对的。”……“集合的直觉概念”，是形式系统无法“捕捉”的。

  以上的介绍有些专业化，M•克莱因提供了一个较形象的比喻：“假定人们打算开列一张特征表，并认为它可以刻划且仅仅刻画了美国人，但令人吃惊的是，某人发现了一种动物，其具有表上所列的全部特征，但它完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。……，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。”

  司寇伦的悖论就是“按图索骥”的数学版：遵照一幅据信是刻画了千里马的特征的相马书，结果竟发现一只癞蛤蟆符合书上所列的各项特征！勒文海姆—司寇伦定理意味着无论多么认真详尽地编写这本相马书，无论多么仔细地对数学对象们进行刻画，永远不能避免出现这样的实质性的歧义。

  这有力地诠释了直觉主义的主张：凡是“语言”必不能避免相对的“模糊性”，即便是数学或逻辑也不例外！

  即便是反对直觉主义的人，也很难否认这是一项支持直觉主义主张的成果：经过对自己的结论再三考虑之后，司寇伦在1923年的一篇论文中表示，对于把公理化方法当作集合论的基础他是持反对意见的。即便是冯•诺伊曼也在1925年表示赞同他自己的公理以及其他关于集合论的公理系统全部贴上“不真实的标记，……集合论不可能无条件地公理化。……既然算数、几何等不存在公理体系，而对集合论却没有这样的假定，那么也就必定不存在无条件地公理化无穷系统。”这一情况，他继续写道，“对我而言，是有利于直觉主义的又一论据/”  
  普特南表示，“两种极端的观点——柏拉图主义与实证主义——似乎都能从勒文海姆—司寇伦悖论中得到安慰；只有‘温和’的观点（它试图避开‘领悟’‘数学对象’的神秘能力，同时保留经典的真理概念）困难重重。” “令人惊奇的事实是，在数学直觉主义者看来，这整个问题根本不存在。着可能不会是司寇伦感到吃惊：他的结论正是‘大多数数学家希望数学处理的最终是可施行的计算操作，而不希望数学由关于某某对象的形式命题组成。’” 普特南进一步承认，即便当直觉主义者一旦成功地掌握了一种足够丰富的语言作为某理论T的元语言。进而甚至能够按照塔斯基那样定义“在T中真”以及讨论在T中的“模型”等等时，“司寇伦”悖论也不会再次产生！因为在直觉主义那里：“指称是通过涵义给出的，而涵义是通过验证程序而不是通过真值条件给出的。理论与‘对象’之间的‘鸿沟’简直就消失了——或者毋宁说它本来就从未出现过。”

  普特南最后的选择是——趋向某种所谓“放宽的直觉主义”，他试图既保持直觉主义的主要思想，又不至于“破坏”经典数学，但这种“两全其美”的梦想能否实现呢？在本文不再详述了。总之，结果是：非直觉主义者在向直觉主义者靠近，而直觉主义者只要始终重审他们一贯的主张就行。