之前的作业写到“证明”与“数学基础”，由于是命题作答，写得不太如意，现在想起来补充几句。
我以前就一直推崇“证明”的概念，作为数学之为数学的根本精神，或者说，“证明”是“数学精神”的核心。“证明”的要求使得数学与解决实际问题的计算学和测地学等技术区别开来，代表着自由、理性和超功利的态度，对于“证明”的意义怎么强调都不为过。
但是这种强调并不意味着变成对证明的形式的过分偏执（逻辑主义、形式主义），事实上，与其说逻辑主义重视证明，倒不如说他们实质上恰恰是忽视了“证明”。他们把“证明”看作是一条条命题之间的形式推演过程，看作是命题与命题之间的串联关系，但这错失了“证明”首先是人的创造性“活动”这一事实。
单就一个严格的证明过程来看，它确实就像是一架机械那样，命题与命题之间勾连咬合，从输入到输出运转起来精确有序，输入的公理和前提条件经过一道一道的机械的严密操作最终给出了待证的命题。但问题是，在这里头，什么是“证明”？
当我们把证明一词变成名词形式时，我们说“给出一个证明”，于是我们就容易前述的那架（输入公理前提而输出待证命题）机器本身当作是“证明”，但是证明首先是一个动词，是一项活动，是指人如何去搭建那架机器的过程。
对于那架机器的运作而言，它首先开始于输入项，亦即最初的条件或公理。因此当我们把证明视作数学的核心，又把这样一台形式机器视作证明本身，那么自然就把公理视作整个数学的“基础”了。而直觉主义更加重视“证明”，但却不是指的那架作为证明的产物的机器，而是着眼于人进行证明这一活动
是人在做证明，而不是机器或上帝在做证明。当人们发现了证明普遍命题的方法之后，当然可以把证明机械化，使得在相应普遍性范围内的具体命题都可以机械地给出证明过程。但在根本意义上进行证明的当然还是人，就好比说课本后面的参考答案也能够提供证明，但进行这一证明的根本上来说还是答案的编写者。数学证明一旦做出，其输入到输出运转确实是机械的，然而这一机械运转本身却并不是数学的主要活动，数学的主要活动是创造性地找出制造这种机械的方法。
数学家就好比这样的一群机械师，他们关心的不是机械所要输出的东西，而是关注于机械的制作本身。
这种作为自由的艺术的数学传统源于古希腊，但却不一定是柏拉图主义的传统。柏拉图的理念世界也是某种对数学的偏执理解，和逻辑主义将命题串联的形式机器看作证明本身类似，柏拉图主义也是把数学看作是脱离人的活动的一种自在之物。这当然是一种数学观，是一种形而上学信念，但却是未必是数学精神的唯一表达方式。
数学证明的传统明显要早于柏拉图，而且在柏拉图之后似乎仍是独立发展的。在柏拉图之前，典型的一个例子是尺规作图的传统——尺规作图所蕴含的理性、严格性、超功利等特征都是数学精神的标志，然而它仍然强调着“做”的概念，追求一种“做出”的“方法”，而不是寻求对现成的真理的“发现”。
证明是人做的，上帝不需要证明。即便在柏拉图那里，证明的数学只是一条“下降之路”，而不是一条真理之路。对数学的操练只是有助于帮助人们去领会理念世界，而真正的真理并不是证明出来的结果，而是只有通过超脱肉体的灵魂之眼才能够直观到的。而现代的柏拉图主义者比柏拉图更进一步，把这种超验直观的维度也取消了，于是仿佛“真理”就是作为证明的输出物而呈现的，而证明的过程也只是有待发现罢了。
当然，有各种各样的数学观，我并不是说柏拉图主义的数学观就是偏离数学精神的，只是说它在某处偏执地理解罢了，直觉主义又何尝没有偏执呢？但这里我想强调的是：未必只有那一种理解才是对数学精神的表达，对公理化、逻辑主义、柏拉图主义的数学观的反叛，并不代表对自由、严格、超功利的数学精神的反叛。
2010年7月18日
