去年写过一篇“关于中学数学的学习”，下面的讨论可以说是对那里的补充。那篇文章的最后给出了所谓很“起源”的数学题，这次的讨论正好是接着开始的。
以下是和UNIC聊天记录的摘选，懒得重新再写了，就这样备案存档吧。我能够帮助你的也只有这些空谈了，因为数学既然是一个技术，数学的“教练”是必须要手把手教才好的，通过QQ聊天来教数学是无法体现我的价值的。没有系统地当过一次数学“教练”是一个遗憾。或许等我的朋友们，你们有了下一代时，如果记得，来请我教数学，我会很乐意的。
……
给你看的，所谓起源之类，不是知识，而是技术的演示
数学的技术在应对任何题目时都是一样的
知识就是什么叫三角函数，三角函数的定义，什么叫直角坐标系等等
练上手的技术时并不在于你针对怎样的题目，面对那些复杂高级的题目时，由于其中势必掺杂许多知识点，所以技术的成分不鲜明了，但在做那些最基础的，“起源”的问题时，几乎没有什么知识点需要你事先掌握，所以考验的就是纯技术。这是我从那些题目开始让你体会的初衷了。
比方说，你要当一名乒乓球运动员，那么可能需要系统地学习一些方法，比如如何打弧圈球，如何更好地打弧圈球等等。但是，如果你只是想随便玩玩的程度，根本不需要学习什么，反复玩，一直玩，就能顺手了。
但是你如果没有玩，只是学，那么怎么样学都不会打
反复地操练能够弥补知识学习的缺乏，但是反之却不然，知识的学习不能弥补你操练的缺乏。
而且，技术的学习更多地不是记忆，而是模仿和适应
需要你练成的，不是丰富的知识积累，而是“条件反射”
拿到一道题，立刻就知道怎样做。这靠的不完全是来自天赋的数学直觉之类，简言之就是条件反射。是可以训练出来的。
/——但是我总感觉不同的题有不同的做法啊
根本上来说都是一样的
每一盘棋的走法都是不同的对吧
但是你是怎么学会下棋的呢？
事后总结的话，可以把一些手法分类描述，比如削球啊、抽球啊，但是各种技巧之间并不是界限分明的，实战中有些球更可能不遵循任何一种套路打过去，而这种击球的方式可能是你从未学过的，但看准了就打过去了，打完了事后你再去反省体会，比如，哦这个是弧圈球，你第一次打出来了，体会体会当时的感觉，下次可能再打一个，如此你便学会了
所以什么分子有理化之类的，根本不必先学后用，而是都可以先用后学的。
/——但那要好长时间~~哎~那下辈子我也去学奥数好了……普通应试教育这样的机会很少
用不了多长时间
奥数不同了，用奥林匹克来命名，其实学奥数的和运动员是类似的，训练方式又有不同。而一般的数学学习用不着集训
你从不会骑到学会骑自行车用了多少时间？
很容易就上手的，但做自行车运动员就是另一回事
学自行车也就是模仿加适应
学数学也就这么回事
归根结底它就是一个技术，而不是像英语那样要背单词等等。当然英语也可以完全当作技术来学习，不过那样效率较慢，但也能成功。
学习知识只是对技术学习的补益，相当于指路牌之类的作用，归根结底知识也是落实在技巧里头的。
你还可以发现，“例题”在理科教材中的地位。虽然文科的课程也有考试，也有题目，但是它的教材里不必演示“例题”，然而任何一本理科教材，特别是数学教材，其中最大的篇幅就是例题。
例题是什么？例题是干吗的？例题就是“演示给你看”，他就是先跟你说一下如何打乒乓，然后再示范给你看一看，最后然你自己上场练。例题就是这个示范。
由此可见数学作为技术的本性。
有些知识点是在例题之前给出的，有些则是通过例题给出的，在例题之后回顾而给出的。也就是说实战是基本的，而知识实在是通过对实战的回顾和反省而得到的。
/——技术和观察先于知识？
总是先有炮兵，再有的弹道学
/——那么如何具体实施呢？
操练
当时我让你看书的时候我也说，看书时是要始终拿着纸笔不停地做题，才叫看书。数学书是不能躺在床上捧着看的。
/——题外话一句~~~哲学学习你觉得是什么样的？
哲学么，说不清楚。
反正和数学完全不同
2007年10月28日
最新评论
luxin2007-10-29 15:36:55 匿名 124.17.17.56 [回复]
我变成高级技工了……
不敢认同
古2007-10-29 17:36:30 匿名 125.34.49.255 [回复]
那你觉得数学是什么呢？说数学就是数学？那等于没说。你更喜欢说数学是知识体系吗？这难道不更是对数学的贬低吗？
我以前也说过，数学可谓是上帝的语言，是一门崇高的艺术。如果你能接受数学的艺术性的话，那么你完全可以接受数学是技术的说法，因为技术本来就是艺术。
数学在自然科学中的地位是什么？占据还原论顶端的其实是物理学，数学其实并不是还原的终点，而是在每一个环节都渗透其中的东西，数学是所有学科里最根本、最基础的方法性的东西，所谓方法亦即技术。无论说数学是“语言”也好，“艺术”也好，“方法”或“工具”也好，归根结底仍是技术。
你不是高级技工，你是艺术家。
艺术才是技术的最初和最高的形态。
古2007-10-29 18:22:15 匿名 125.34.49.255 [回复]
luxin不妨再多回顾一下，我们究竟是怎么学奥数的？学奥数的人比起一般同学而言究竟多学了些什么？就基础知识而言，并没有多学任何东西，我们所运用的概念、定义以及常用的定理之类，一般同学往往也都知道，某些最难的竞赛题，就其每一步的解题步骤来看，或许也没有哪里是一般同学不能理解的，但我们做得出来，他们则毫无头绪，这是为什么？——因为我们一直都在进行奥数“训练”——怎么训练的？无非是看着老师出题、解题，回家自己做题，从头到尾都是由各种做题串成的——历史课之类的决不会这样上。
看例题——做习题的训练，也就是“模仿——操练”的方式，这就是技术的训练过程。相信从你的经历也可以体会到，数学水平的提高靠的不是去增加了解、积累知识，而就是要靠操练，靠做题的。即便是对于那些知识点、公式定理之类，也是要我们通过反复的运用才可以“掌握”的，从而可以“运用自如”。而一般人即便“知道”这些定理，但是未经操练，便不能在做题事信手拈来、运用自如——这也就是技术训练中从“现成在手之物”到“应手之物”的转变。技术练到炉火纯青时，便仿佛成了内在于人的东西，不假思索便可运行自如。数学练到纯熟时，见到一道题目便可自动反应出巧妙的做法，这可能被一般人看作不可企及的灵感能力，但这实在也是锻炼出来的，除了天赋之外，剩下的就是通过训练而运用纯熟的技巧了——技巧就是运用技术的较高境界，所谓“熟能生巧”，我们做数学时经常说的解题“技巧”之类，也是技术的表现了。
古2007-10-29 18:28:39 匿名 125.34.49.255 [回复]
还记得奥数课老师的上课方式吧？一般数学课或许还要经常强调一下知识要点啊、方法窍门啊。但奥数课老师上来就直截了当：出几个题，让我们做一会，然后他做给我们看（或者让同学上去做之类）。总之，就是解题和观看解题。
这像是学习知识的样子吗？毋宁说和学习打乒乓、学习弹钢琴等更为相似吧？“演示——模仿——操练”。
古2007-10-29 20:19:00 匿名 125.34.49.255 [回复]
学一种乐器时，比如说吹笛子吧。一开始训练的时候是一支曲子一支曲子练的，也就是说你在练熟了某一支曲子后，如果再碰上一支全新的曲子，你还是吹不好，要重头练。但是练到更高的境界时，对笛子的驾驭就越来越随心所欲了，这时候的吹笛高手哪怕是遇到从未吹过的曲子，也能够信手拈来，吹得很流畅纯熟。
数学里头我们经常会提到一个“举一反三”，有些人就会觉得这种本领很神奇，很难理解，比如UNIC说“总感觉不同的题有不同的做法啊”，这恰如不同的曲子有不同的吹法，初学者只能一道题一道题练，进而逐渐可以一类题一类题练，最后练到纯熟时，才会觉得数学题都不过如此，即便是遇到一个崭新的概念或方法时，也能迅速掌握，运用自如。这里头并没有多少神秘的地方，就是熟能生巧而已。
顺便说一下，我这里的说法显然有技术哲学和后期维特根斯坦的影子，话说维特根斯坦在思想转折期间当的是小学教师，虽然作为教师他似乎并不称职，但是在教学中的体会应该多少对其后期思想有所影响。在这里我们即便不讨论数学的本质，不做出“数学彻头彻尾就是技术”这样极端的结论，但是仅就中学数学的学习来看，这种学习方式更接近于学一门技术，这应该是很明显的。
