一些趣题之三：得寸进尺、巧猜围棋子、混乱的村庄、只能在周二说的话，还有一道超级BT题
星定 发表于 2006-09-05 13:39:14
得寸进尺
在舞会上，罗吉看见一个美女，便上前搭讪，邀请她一起跳舞。美女说道：“我讨厌不诚实的人，这样吧，我听你说一句话，如果是真话，我就和你跳舞；如果是假话，我再不会搭理你了！”罗吉想了一想，说出一句话来，结果美女不仅守约与罗吉共舞，而且还吻了他！
罗吉究竟说了什么呢？
………………………………………………………………
提示：
想一想实质蕴涵……
………………………………………………………………
解答：
罗吉说：“如果你不吻我，你就不会和我跳舞。”
这里的妙处在于：形如“如果A，则B。”这样的话，只有当A真且B假时才是假的。而在罗吉的话中，B假——也就是“你和我跳舞”的情形，按照事先的约定，只有当罗吉的话为真时才可能发生，因为不然的话美女必须不再搭理罗吉。也就是说，当B假时A也为假。结果是，只有当“你吻我”与“你和我跳舞”同时为真时，美女才可能遵守约定！
2006年9月4日
巧猜围棋子
甲在手里藏着一个围棋子，要乙来猜棋子的颜色（黑的或白的）。乙可以向甲提问一个回答为是或否的问题，但是甲可能说真话也可能说假话。乙能通过一个问题判断出甲棋子的颜色吗？
………………………………………………………………
解答：
在王俊邦、罗振声编的《趣味离散数学》中给出的化简后的答案是：“‘棋子是白的且你说了真话或者棋子是黑的且你说了假话’这句话对吗？”我觉得似乎用蕴涵来表达更为简洁：“如果我问你棋子是否白的，你会回答是，对吗？”通过列真值表观察，想到这些并不难。
混乱的村庄
一个村庄里住着六个男人（A、B、C、D、E、F）和他们的六位母亲。每位母亲都不幸丧夫，但都再婚，第二任丈夫都是除了自己儿子以外的另五个男人之一。
一天D太太对Ｃ的母亲说：我成了E太太的婆婆的婆婆的婆婆，A成了Ｂ的继父的继父，而Ｆ太太则成了Ｃ太太的儿媳妇的儿媳妇的儿媳妇的儿媳妇。
谁是谁的继父？
………………………………………………………………
解答：
用“Ｘ→Ｙ”表示Ｘ是Ｙ的继父，则Ｄ太太说的话就意味着：Ａ→Ｘ→Ｂ，Ｄ→Ｙ→Ｚ→Ｅ，Ｃ→Ｒ→Ｓ→Ｔ→Ｆ。另外，从条件得知Ｄ太太与Ｃ的母亲是两个人，只有一种情况符合条件：Ｃ→Ａ→Ｄ→Ｂ→Ｆ→Ｅ→Ｃ。
只能在周二说的话
某人在周一总是说谎话，而在其它日子总是说真话。那么，有没有他只能在周二才能说的话呢？
………………………………………………………………
解答：
“今天不是周一就是周二。”
一组超**的题目
以下一组十个单选题：
1．第一个答案是b的问题是哪一个？
（a）2；（b） 3；（c）4；（d）5；（e）6
2．唯一的连续两个具有相同答案的问题是：
（a）2，3；（b）3，4；（c）4，5；（d）5，6；（e）6，7；
3．本问题答案和哪一个问题的答案相同？
（a）1；（b）2；（c）4；（d）7；（e）6
4．答案是a的问题的个数是：
（a）0；（b）1；（c）2；（d）3；（e）4
5．本问题答案和哪一个问题的答案相同？
（a）10；（b）9；（c）8；（d）7；（e）6
6．答案是a的问题的个数和答案是什么的问题的个数相同？
（a）b；（b）c；（c）d；（d）e；（e）以上都不是
7．按照字母顺序，本问题的答案和下一个问题的答案相差几个字母？
（a）4；（b）3；（c）2；（d）1；（e）0。（注：a和b相差一个字母）
8．答案是元音字母的问题的个数是：
（a）2；（b）3；（c）4；（d）5；（e）6。（注：a和e是元音字母）
9．答案是辅音字母的问题的个数是：
（a）一个质数；（b）一个阶乘数；（c）一个平方数；（d）一个立方数，（e）5的倍数
10．本问题的答案是：
（a）a；（b）b；（c）c；（d）d；（e）e
……据说是微软的面试题？
………………………………………………………………
答案：
1.c，2.d，3.e，4.b，5.e，6.e，7.d，8.c，9.b，10.a
2006年9月5日
最新评论
一些趣题之四：亲自编写的题目，猜名次
星定 发表于 2006-09-05 16:49:00
亲自编写的题目，猜名次：
热身题：
某次比赛有A、B、C、D、E五人参赛，赛后他们分别预测道：
A说：B第三，C第五；
B说：E第四，D第五；
C说：A第一，E第四；
D说：C第一，B第二；
E说：A第三，D第四。
后来发现，每个名次都有人猜对，C是第几？
——这道题非常简单，从第二名入手，C是第一，第二到第五依次是B、A、E、D。
下面看我编的题目：
某次比赛有A、B、C、D、E五人参赛，赛后他们分别预测道：
A说：我再差也不会差过B；C不如D。
B说：D不如C；C不如我。
C说：B确实不会比A高；不过最差的还是E。
D说：C比E还差；但最差的是B。
E说：如果我不是最差的，A就是；总之我一定不如B，A也不可能是第一。
后来发现，每个人所说的两句话中恰好有一句是对的。
C是第几？
………………………………………………………………
提示：
从C、D说的两句话入手。
………………………………………………………………
解答：
首先从C、D说的两句话入手，“最差的还是E。”与“C比E还差”是不能同时成立的，其中至少有一个错的；于是，相应的另两句话就至少有一个正确的。而如果“最差的是B”正确，“B确实不会比A高”也正确。所以“B确实不会比A高”一定是正确的。于是C的另一句话“最差的还是E”不正确。A所说的“我再差也不会差过B”也是正确的，于是A的另一句话“C不如D”是错误的。
如果E的第一句话是对的，由于前面已得E不会是最差，所以A就是最差。但又已知“B确实不会比A高”……
如果E说的第一句话是错的，其第二句话就是对的，也就是说E不如B且A不是第一。那么B就不会是最差的，即D的第二句话是错的，所以D的第一句话是对的，即C不如E。又E不如B，所以C不如B，即B的第二句话是正确的。所以B的第一句话“D不如C”是错误的。而前面有“C不如D”……难道这道题无解吗？当然不是。注意一下题目叙述的方式大概就能想到了，事实上，题目并没有说不允许名次并列的情形！所以当“D不如C”与“C不如D”都错误时，得知C、D并列。此时C、D都不如E，E不如B，A又不会比B差，所以A是第一，矛盾。
所以E的第二句话是错的。再回过头去看第一句话。A是最差且B不会比A高，得到A、B并列最差。于是D的第二句话正确，所以D的第一句话错误。即“C不比E差”。而由B的第二句是错的，其第一句话意味着D不如C。所以C一定是第一名（可能与E并列）。
2006年9月5日
一些趣题之五：又一道关于名次的题、一道GMAT试题、据说是爱因斯坦出的题目、一道出自“近五十年最佳数学问题”的题目、一道奥赛题
星定 发表于 2006-09-05 19:17:07
又一道关于名次的题
A、B、C、D、E分获一至五名。他们分别说：
A：我不是最后一名。
B：C是第三名。
C：A排名在E之后。
D：E是第二名。
E：D不是第一名。
结果发现，恰好是第一和第二名说了假话。他们的排名到底是怎样的？
………………………………………………………………
解答：
A说的一定是真话，因为不然的话，他就是最后一名，而最后一名说的是真话，矛盾。所以A是第三或第四。
如果D说的是真话，那么E说的就是假话，D是第一名，所以D说假话，矛盾。所以D说的是假话。E不是第二，而D是第一或第二。
如果E说的是假话，那么D就是第一，E便是第二，矛盾。所以E说的是真话，于是D是第二。
如果B不是第一名，那么他说的是真话，于是C第三名，此时没有人是第一名，矛盾。所以B是第一，C不是第三。
C也不是第一或第二，所以他说的是真话，于是E第三，A第四，C第五。
排名依次是B、D、E、A、C。
一道GMAT试题
A、B、C、D四人分或一、二、三、四名，已知：
1．若A第一，则B第四；
2．若B第三，则A第四；
3．A名次比C高；
4．若D不是第一，则A得第二；
5．若B第二，则C不是第四；
6．若B第一，则C第二。
问四人的名次。
………………………………………………………………
答案：
一到四名依次是D、A、C、B。
据说是爱因斯坦出的题目：
●前提：
⒈有5栋5种颜色的房子；
⒉每一位房子的主人国籍都不同；
⒊ 5个人每人只喝一种饮料、只抽一个牌子的香烟、养一种宠物；
⒋没有人有相同的宠物、抽相同牌子的香烟、喝相同的饮料；
●提示：
⒈英国人住红房子；
⒉瑞典人养狗；
⒊丹麦人喝茶；
⒋绿房子在白房子左边；
⒌绿房子主人喝咖啡；
⒍抽PALL MALL烟的人养鸟；
⒎黄房子主人抽DUNHILL烟；
⒏住中间房子的人喝牛奶；
⒐挪威人住第一间房子；
⒑抽混合烟的人住养猫人旁边；
⒒养马人住抽DUNHILL人旁边；
⒓抽BLUE MASTER的人住养马人旁边；
⒔德国人抽DRINCE烟；
⒕挪威人住蓝房子旁边；
⒖抽混合烟人邻居喝矿泉水。
●问题：
谁养鱼？
………………………………………………………………
从网上摘抄的解答：
第一步：可以确定，挪威人住黄房子，抽Dunhill的烟，而且在左边第一位。旁边是蓝房子养马。（条件：7，9，11，14。因为其他颜色的房子都提过了，绿白红蓝，所以挪威人一定是黄房子，而因此得到香烟的提示）
第二步：根据题目，他们都养不同种类的宠物。那么排除法可以知道，挪威人可能养“猫”或者是“鱼”。这样就可以有两条路走。正确的答案是假设他养猫，鱼的走不通。
第三步：现在可以确定他们抽烟的牌子。蓝房子，也就是左边第二个房子的人抽的是Blends.（条件：10）
第四步：如此，就可以直接推理出黄房子的挪威人喝水。（条件：8，15）
第五步：这时候有一个疑问，白房子到底在左边第4个？还是在最后一个？不过，可以确定了。条件是“5、绿色房子主人喝咖啡”因为中间房子的人喝牛奶（条件：8）。所以中间的房子是红色，英国人，喝牛奶。这时候我们知道了，房子的排列顺序，分别是黄-蓝-红-绿-白。
第六步：再次根据排除法，可以知道，红房子的人抽 “Pall Mall” 的烟。（根据：红房子的人不喝酒-（条件8和12），黄房子，蓝房子的主人抽烟已知，而且红房子主人不是德国人，是英国人（条件13）），那么此时，又可以确定，英国人养的宠物是鸟。（条件6）
第七步：因为蓝房子的主人养马，所以可以确定的是，他不会来自英国，挪威和瑞典。而且抽的是Blends（已知）。所以，可以确定，他也不是德国人。而唯一的解释是剩下的一个国家：丹麦。所以，又知道他喝茶。（条件2）
第八步：这时候喝酒的人也唯一了，必须是白房子的人。所以他抽的烟是Blue Master。这时候，前三个房子的主人都确定了，只剩下德国和瑞典。这时候可以通过，德国人抽Prince确定，白房子的主人是瑞典人。（条件13），而又已知，瑞典人养狗。（条件2）所以确定了，德国人住绿房子，抽Prince喝咖啡，那么唯一剩下的一种宠物——鱼。
一道出自“近五十年最佳数学问题”的题目
某银行有11个不同的职位：行长、第一副行长、第二副行长、第三副行长、经理、出纳、助理出纳、会计、第一速记员、第二速记员、门卫。这是一个职位由下列人员担任：A先生、B太太、C先生、D女士、E先生、F太太、G先生、H小姐、J先生、K太太和L先生。已知：
1） 第三副行长是行长宠爱的孙子，但不为B太太与助理出纳所喜欢。
2） 助理出纳和第二速记员均分他们父亲的财产。
3） 第二副行长和助理出纳戴同一式样的帽子。
4） G先生令H小姐马上给他派一个速记员来。
5） 行长的紧邻是K太太、G先生与L先生。
6） 第一副行长与经理住在不大吸收新会员的独身俱乐部。
7） 门卫从小就一直住在那一间阁楼里。
8） A先生和第二速记员是年轻未婚者中的社交活动家。
9） 第二副行长曾和会计订婚。
10） 时髦的出纳是第一速记员的女婿。
11） J先生定期把自己不穿了的衣服给E先生穿，却不让年纪较大的会计知道此事。
问：这十一个人分别担任什么职务？
………………………………………………………………
答案：
A是第三副行长，B是第一速记员，C是会计，D是第二速记员，E是门卫，F是行长，G是第一副行长，H是第二副行长，J是出纳，K是助理出纳，L是经理。
一道奥赛题
出自第二十五届（1991年）全苏数学奥林匹克八年级题7
甲要对乙做某份调查，一共需要了解91项以是或否为答案的问题。但乙可能会在回答过程中对某一个问题说假话。甲要问多少个以是或否为答案的问题才一定能够得到所需要的91项问题的正确信息呢？请设计一种能在105问之内满足要求的提问方式。
………………………………………………………………
解答：
将需要了解的91项问题分成以下13组：第一组13个问题，第二组12个，以此类推。每问完一组问题，就加入一个检验问题：“你在前一组问题中说假话了吗”。如果回答是肯定的，那就将那一组问题逐一重复问一遍，找出说假话的句子之后就不再需要加入检验问题；如果乙在所有的问题中都没有说过假话，提问也将在105个问题后结束。
需要注意的是：乙对插入的检验问题也可能说假话。如果在因检验问题的肯定回答而重新提问的一组问题回答都与之前一致，说明说假话的正是这个检验问题。举例来说，如果对最后一组问题，也就是最后一问的检验问题回答为说了假话，还是需要将最后一问再重复一遍，否则是无法分辨究竟是最后一问说了假话还是对最后一问的检验问题说了假话。因此，另一种可能被认为更快捷的检验方式，例如“你在前一半问题中说过假话吗？”这样二分式的逼近将是低效的，因为对于每一个二分问题的回答都需要再额外进行确认。
2006年9月5日
最新评论
- mist
2006-09-05 21:36:23
我篡改的题目也贴blog了，你可以到我那看看
ps，最近上你的blog老弹出错误提示，确认后ie就自动关了，不知怎么回事 - mist
2006-09-05 22:48:18
我离出书的能力还远着呢，因为要自己创立一个新的模式的题实在太难了，现在我脑中都是别人的模式。。。。。
- 古
2006-09-05 23:19:37
哎，现在市面上那些趣题集锦的题目有多少是有自己创立的模式啊，还不都是东抄一道西拼一道，顶多改改人物的姓名罢了。把现成的名题揉到一个故事里就足够能出本书了~我看得几本书有的只有50道或100道题目（其中好多还是凑数的傻得不能再傻的题目，攒起来就出成书了，印量还上万！咱俩这样帮波波折腾出几十道题也差不多可以编一本书了~呵呵~~
一些趣题之六：一组钥匙与锁的问题
星定 发表于 2006-09-05 23:10:20
一组钥匙与锁的问题
1．
有三个保管员看管一个保险库。要求给保险库上若干把锁，并适当分配钥匙，使得：
没有一个人能单独把门打开；
任何两个人在一起时就能把门打开。
需要几把锁？
………………………………………………………………
解答：
三把锁即可，第一人持有钥匙A和B，第二人持有B和C，第三人持有C和A。至于为何只用两把锁不够。留给读者证明。
2．
银行的一位经理、一位副经理和四位保管员看管一个保险库。要求给保险库上若干把锁，并适当分配钥匙，使得：
经理可以把门打开；
副经理只有和（任意）一位保管员合作，才能把门打开；
任意三位保管员合作能把门打开，而只有任意两位保管员则打不开。
需要几把锁？
………………………………………………………………
解答：
经理显然应拥有所有锁的钥匙。
副经理应该拥有除了一种钥匙外的其余所有钥匙，而他所没有的那种钥匙任何一位保管员都拥有。
任两位保管员都不足以打开门，也就是任两位保管员都至少还缺一种钥匙，在四人中选两人共有6种情形。又因为任三人又一定能凑齐钥匙，所以每种情形就对应着一种钥匙，再加上四人共有的那把副经理没有的钥匙，一共至少是七种钥匙。分配方案如下：
经理拥有全部钥匙，副经理拥有2号到7号钥匙，四位保管员的钥匙依次是：（1，5，6，7），（1，3，4，7），（1，2，4，6），（1，2，3，5）。
3．
银行的一位经理、两位副经理和五位保管员看管一个保险库。要求给保险库上若干把锁，并适当分配钥匙，使得：
经理可以把门打开；
一位副经理只有和另一位副经理合作，或者与（任意）两位保管员合作，才能把门打开；
任意四位保管员合作能把门打开，而只有任意三位保管员则打不开。
需要几把锁？
………………………………………………………………
答案：
需要20把锁。
一些趣题之七：一道与投票悖论有关的题目
星定 发表于 2006-09-05 23:11:21
与投票悖论有关的题目
A、B、C三个议员在市议会分配总额4亿元的预算，预算分配共有甲、乙、丙三个方案。
甲方案：A得2亿，B得1亿，C得1亿；
乙方案：A得1亿，B没有，C得3亿；
丙方案：A没有，B得2亿，C得2亿。
首先，就甲方案与乙方案之间投票表决，得票多者再与丙方案之间进行表决。
那么，A议员该如何投票呢？
………………………………………………………………
解答：
若第一次表决中A投票给甲方案，同时，甲方案对B也更有利，因此甲方案便会胜出。但在第二轮如果是甲方案与丙方案之间表决的话，B和C都会认为丙方案更有利，最终A一分钱都得不到。
因此第一次表决中A应该投票给乙，而C也会投票给乙，此时乙方案胜出。而在乙与丙之间，A和C仍然会选择乙，最终A能够获得1亿。
一些趣题之八：改进的公平分配问题
星定 发表于 2006-09-05 23:27:02
之前写的“三人分桃汁”问题的解答太繁琐了！我真是笨得可以了。其实不止是三人，任意多人的公平分配问题都有简单的通解：
n人公平分配问题
将上题（三人均分问题）推广到任意多个人，有没有通用的方法呢？（仍然假设分配物经反复划分不会损失）
………………………………………………………………
解答：
先让n个人按1号、2号到n号依次排列。
让1号先选出自认为是1/n的一份，然后将这一份依次从2号传递到n号。当传递到某个人时，他都有两种选择：1）认为传到他这里的这一份少于1/n，就什么也不做，将它传给下一个人；2）认为这一份不比1/n少，则动手将他认为多出来的部分切回去，将剩下自认为正好1/n的部分继续往下传递。
当这一份最终传到n时，假设整个过程中最后一个“切”过它的人是k，则把这一块给k。
此时，k之前的所有人和k之后的所有人都会认为这一块少于1/n，也就是说剩给他们这n-1人做下一步划分的不少于(n-1)/n，是满意的；而k自己认为这块恰好是1/n，所以也觉得公平。
剩下问题就变为n-1个人均分问题了，依同样的方法分配，最终将化归为二人分饼问题。
2006年9月5日
最新评论
- mist
2006-09-06 10:51:12
化归，想起《这本书叫什么》里面的一个有趣的故事
一座房子起火了，有一根水管，一个水龙头。那么解决方法当然是把水管接在水龙头上然后打开水龙头来救火。
现在是有一座没有着火的房子，一根水管和一个水龙头。
数学家们会怎么做？
他们会先给房子点上火把情况化归为前面然后再救火~~
一些趣题之九：一道关于博弈论的问题、经典的海盗分金子问题、再来两道简单的
星定 发表于 2006-09-06 00:19:18
一道关于博弈论的问题
甲、乙两国长年交战。甲国生产两种战机A和B；乙国也生产两种战机C和D。多年的统计表明，A对C有60%的胜率，C对B有80%，B对D有70%，D对A有60%。
甲应该如何生产飞机？乙呢？
………………………………………………………………
解答：
如果甲只生产一种战机，如A；那么乙将会只生产克制A的D；于是甲转而生产克制D的B；乙再生产C来对抗……没完没了。
但这一类博弈问题也有适当的策略——甲的最佳策略是以5：2的比例生产A和B，无论乙怎么做，甲在整体上都能确保48%的胜率。而乙的最佳策略是以3：4的比例生产C和D，这使得乙可以获得52% 的胜率。
经典的海盗分金子问题
10名海盗抢得了窖藏的100块金子，并打算瓜分这些战利品。这是一些讲民主的海盗（当然是他们自己特有的民主），他们的习惯是按下面的方式进行分配：最厉害的一名海盗提出分配方案，然后所有的海盗（包括提出方案者本人）就此方案进行表决。如果50%或更多的海盗赞同此方案，此方案就获得通过并据此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里，然后下提名最厉害的海盗又重复上述过程。
所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里，不过，如果让他们选择的话，他们还是宁可得一笔现金。他们当然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盗都是有理性的，而且知道其他的海盗也是有理性的。此外，没有两名海盗是同等厉害的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次，并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。这些金块不能再分，也不允许几名海盗共有金块，因为任何海盗都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海盗。最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢？
………………………………………………………………
网上摘抄的解答：
我们把海盗编号为：１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０
１号海盗在提出分配方案前，必须设身处地从其他９名海盗的心理开始分析，同时要给自己留下最多的实惠。要说明这个论题，我们必须从后面考试分析，也就是从１０号开始。
（１）当前８名海盗都被扔到海里时，就剩下９号和１０号，那么９号理所当然占有１００块，１０号什么都得不到，因为他自己有５０％票。１０号很明白自己的处境，所以他必须支持８号
（２）８号当然明白１０号的心理，也知道９号会反对自己，所以他的分配是：自己９９块，１０号１块，９号什么也没有。他用最少的贿赂就赢得１０号的赞成。９号很明白自己的处境，所以他必须支持７号
（３）７号海盗也了解这一形势——８号反对，９号支持。因此，只要７号的分配方案是：自己９９块，９号１块，８、１０什么也没有。这样７号也有５０％赞成。同理，８号当然支持６号
（４）６号海盗需要收买另两名海盗才能在５人中保证５０％以上赞成，因此他自己９８块，８号、１０号各１块，７、９号什么也没有。
（５）．．．．．．
（６）以此类推，１号分析了这么多人的心理状况后，提出的方案是：自己96块金子，３、５、７、９各１块，而２、４、６、８、１０都没有。这样他就赢得了奇数海盗的所有票，正好５０％
来两道简单的
1．甲：“乙说谎”；乙：“丙说谎”；丙：“甲和乙都说谎”——谁说谎？……答案：甲和丙说谎。
2．甲：“我们中有一个说谎”；乙：“我们中有两个说谎”；丙：“我们中有三个说谎”；丁：“我们都在说谎”——谁说谎？……答案：甲、乙、丁说谎。
2006年9月6日
