今天是倒数第二次课，我先来讲一下课程作业方面的事情。
我们这门课要求期中读书报告（可选）+期末论文，期中读书报告我目前收到了四份，我应该都已经邮件回复了，如果给我发了但没有收到我的回复，请再发一次，或者换一个邮箱试试，正常情况我应该在两三天内先回复一个确认信，作业中的一些具体问题我也可能通过邮件与你交流。
我 布置读书报告的意思是，鼓励同学们在课后自主地阅读和思考。我作为一个初出茅庐的新教师，上课的水平肯定是有限的，不过其实大学里上一门课程的收获三分靠 老师，七分靠自己，如果自己不阅读不思考，就像上茶馆听说书那样随便听一听，即便老师水平再高，你当时感觉再怎么好，回头很快也都忘光了。但如果你在课后 自主学习，即便老师讲的有很多不到位、不清楚的地方，你也可以自己去填补，去发散，老师只是起到一个引导和启发的作用，学习更多地还是学生自己的事情。
作 为一门公选课，我当然也不能要求大家自主学习到怎样的深度，但无论如何，借这个机会阅读两本科学史方面的好书，总是值得的。我自信在课上推荐的书籍基本上 都是不错的，大家也可以根据自己的需求自己搜索相关的书籍和文章来看，或者看之前可以再找我来鉴定一下。我上课讲的内容可以给大家提供一个线索，根据上课 时感到有趣或感到困惑的内容，带着问题去阅读，效果是最好的。
我之所以再来强调一番阅读的问题，倒不是说希望没交读书报告的同学再回去写， 我本来就说过期中作业是可以省略的，那当然不会赖账。现在都快到期末了，大家是该准备期末论文了。我仍然要强调阅读，正是希望大家注意，不是说读书报告省 略掉了就可以把读书也省略掉的，自主的阅读与思考是我这门课的基本要求，在期末论文中应该体现出来。
所以我不希望收到一份东拼西凑的“论 文”，论文可以很粗糙，很稚嫩，但必须建立在自己的阅读和思考之上，而不是简单地把别人阅读思考的成果裁剪拼接了事。当然非要拼接的话，也必须注明出处。 我的作业坚决不允许抄袭，有抄袭迹象的肯定低分，如果抄袭严重，比如大段都是抄的，就果断给不及格了。
鉴于很多同学可能不清楚怎么样写论文，我在这里稍微讲一下。
所谓论文，最起码要有“论”，而不是简单地做一个科普，讲一个故事就完了。
论文要有问题意识，一篇论文围绕着一个问题展开，而不是散漫地写随笔，讲好几件事情。一篇论文只需要把一个主题讲清楚就够了。
论文的主题可以是论证一个观点，也可以只是讲清一个事情，但这和单纯的讲故事不一样，论文不但要讲故事，更要阐明我为什么要这么讲，凭什么能这么讲，我的逻辑和证据是什么。所以论文需要围绕着论点提供论据和论证。
我们可以通过引用其他资料来为自己提供依据。
学 术论文的一个最基本的要求就是引用注明出处。这里分两方面来讲，首先是论文需要引用，去征引其它文章。为什么要征引其它文章呢，第一是你需要借助他人来支持自己，第二是你需要站在他人的基础上有所推进。因为我们不是在一个前无古人后无来者的空中楼阁在做研究的，我们的思考和探索总是建立在前人的基础之上 的，引用他人的成果，是为了确定自己的立足点，在前人的基础上站稳了之后，接下来我是对他们进行延伸和推进也好，是反思和批判也好，就是扎扎实实地往前推 进了。所以写论文不怕抄，因为你把前人的工作经过汇总和整理摘抄下来本身就是一项基本的工作，在此基础上迈进一点点就是进步。如果没搞清楚前人的工作究竟 已经推进到哪里了，通篇只是自说自话高谈阔论，就根本谈不上原创性。
其次是引用需要注明出处，这不仅是对前人工作的尊重，同时也是方便后来 的学者进一步推进你的工作。因为往往每一个断言或一个观点背后都经过了大量的考证和争论，但我们不可能没说一句话都要从头考察一遍，有些话在一些权威的学 术文本中已经提出了，我们就可以直接拿过来用，但没有哪件事情是绝对无可置疑的，无论再怎么权威，有再多共识，也都可能被重新审视，那么引用出处就提供了 后世学者顺藤摸瓜重新追究的线索。所以学术界需要承认并引用权威，这不是出于对权威的盲从，而是相反，是为了随时保证批判权威的可能性。如果你质疑这一 点，你可以沿着引注，追溯另一些文献，另一些文献也会提供引注，再去追溯更源始的资料。
我们本科同学写论文引用文献的时候，当然不能要求一 定要找到最权威的或最前沿的资源，但是对资源的甄别也是需要的，一个简单的甄别方式也就是看他们的引用。一部好的文献可能被其它许多文献征引，它自己也会 提供丰富扎实的资料，所以一部引用较多或被引较多的文献往往是比较可靠的。而一部文献如果其作者没有专业背景，也没有提供可靠的引证，那就相对而言不可 靠。
我在课上推荐的大部分书籍都是相对可靠的，不过我自己的课程讲稿写得仓促了一些，没来得及把引注弄好，希望同学们不要以我的讲稿为榜样。我的讲义所借重的资源主要都在推荐读物的范围内，我在上完课后会抽时间把讲稿完善一遍，到时候会补全引注。
今天我们讲数学史专题，这是我自己挖的坑，但现在感觉我被自己坑了，因为这个主题实在很难讲。
要把整个数学史浓缩到一节课来讲肯定是做不到的，所以我们今天讲的只是一次专题课，而不是一次“数学通史”，因此我并不打算逐个介绍那些伟大的数学家和各项数学成就，而是在科学史的背景下，就数学史中的某些问题做一些讨论。
大家发现我们这门课上到现在，基本上还是一门文科课程，讲的都是思想性的东西，没有涉及任何公式、演算之类的东西，这节课的性质也不会发生变化，也就是说，我们势必要忽略数学史中的大量技术细节，侧重于思想概念方面的问题。
但是在传统上，数学史的讲述往往是最偏技术性的，一些数学史的教科书更像是数学教材而不是历史书，每讲一章还附上一套习题，比如讲完欧几里得之后就从《几何原本》里摘几道题目让学生做之类的。
我在第一次课就提到了独立的科学史研究试图打破“辉格式的历史”。辉格式的历史站在当代成就的立场居高临下地审视历史，把历史描述为朝向既定结果的斗争过程，忽略历史语境，把今天教科书上的结论作为现成的标准，无非是给每一个现成的结论标记上它的提出者和提出时间罢了。
我在整个课程中都试图展示科学史并不是一个简单的一条一条新知识的累积过程，我们不仅仅是罗列一项又一项新发现的日期，更试图回到历史语境，关注科学活动的思想前提和社会环境，关注那些“错误”的东西。
这 种反辉格的历史研究在20世纪后半叶的科学史学术界已经成为主流，但唯独数学史是个例外，很多数学史的写法仍然是辉格式的，即从古人的作品中提取出现代数 学体系内承认的数学定理和方法罗列出来，因此数学史就被写成一部现代数学课程下的习题集，只不过给每一个问题附加了发现的人物和时间罢了。
阿 西莫夫下面这段话颇有代表性，他认为数学史和一般科学史不同：“只有在数学中，不存在重大的修正——只存在拓展。一旦希腊人发展出了演绎法，就他们所做的 事情而言，他们是正确的，永远正确。欧几里得并不完备，他的工作得到了巨大的扩展，但不需要改正。他的定理，所有定理，到今天都是有效的。”（博耶《数学 史》前言）
这种看法有一定的道理，但经不起推敲。首先，古代数学家并非没有犯错，只是他们的错误被当作非数学的部分或者单纯的疏忽而被排除 在视野之外了；其次，数学本身的范围被不断修正，比如古希腊数学包括天文和音乐，数学只包括那些永远正确的东西这件事情本身是出于现代数学的衡量；最后， 这种只关注永远正确的东西的视角，倾向于用现代数学的概念和符号重新“翻译”古代数学家给出的“定理”，认为古代数学家所运用的笨拙的概念和累赘的描述只 是掩盖了其实质的“数学内容”，这就容易忽视古代数学家对数学问题的不同的理解方式，比如说，这些“定理”所谈论的究竟是什么，它们的意义究竟是什么。
我们从科学史出发去追究数学史，不只是因为那些逐个被发现的数学定理作为实用工具被历史上的科学家们使用，更重要的是，数学史背后蕴含着的观念变迁，是科学发展的一条线索。
我 们之前提到牛顿力学完成了所谓“自然的数学化”，在经典力学中，数学演算取代了亚里士多德自然哲学对“原因”的追问。这一显然不只是因为现代人发展出更精 巧的数学工具，更是因为现代人对数学是什么及其意义的理解发生了变革。而这种变革，在辉格史的叙史框架中是难以发现的。
当然，要提供一个新的数学史图景非常困难，我在这里只希望为大家打开一点思路，从数学的角度重新思考科学史的变革。
数学究竟是什么呢？事实上我们也没有讨论“科学”究竟是什么，我并不试图为这些问题提供一个确定的答案，对科学的理解本身就是科学史的一部分，对数学的理解也是数学史的一部分。但下面我先给出一个流俗的定义，我们可以从这个定义蕴含的疑点出发去追溯。
现代汉语词典说，数学是“研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。”这句话有许多问题可以追究：
首先，几何学研究的空间形式真的是属于“现实世界”的吗？数学对象与现实世界究竟是什么关系？
其次，“数量关系”指的是什么？数和量是一回事吗？数量是一种关系吗？
再次，研究空间的学问与研究数量的学问为何被归在一起，几何与代数有何关系？是互补还是从属，谁从属于谁？
最后，数学是一门“科学”吗，这意味着什么，也许它是一门技艺而非科学？
以上几个问题都是历史性的，在数学史的不同阶段，不同人有不同的理解，而这些理解不仅影响着数学的发展，也影响着自然科学对数学的应用。
我们接下来就带着这些问题，回顾一下数学史的发展。
远古先民就有了计数和度量活动，当然最初这些活动都是具象的，人们用手指来数数，用手和脚来度量长度，如果说这类活动就是数学的话，那么数学最初就是这些身体技术。
到文字出现之后，数学活动才开始脱离身体，人们用书面的符号记录数字和量度，比较复杂的数学技巧被发展起来。古埃及和古巴比伦，包括古印度和古中国，都有很高的数学成就。
巴比伦人已经开始使用以60为底的分数，他们能够把根号2精确到1.4142129（实际是1.4142135……），他们能够求解相当于一元二次方程的算术问题，甚至可以求出三次方程甚至更高次方程的近似解。
古 代文明的数学更多地是一种实用的技术，虽然在许多方面他们的努力已经远远超过实际的需求，但这也好比各种实用技术都会发展出某种游戏性的或艺术性的维度， 但实用旨趣仍然是一个基调，这和希腊之后的数学有很大区别。比如巴比伦人会对演算结果进行“验证”，并不在意逻辑演绎意义上的“证明”。另外，他们往往对 精确解和近似解不作区分。
巴比伦人对根号2的计算图中斜边上标有60进制小数形式的数值：“1,24,51,10”，换算成十进制小数是1.4142129……，我们现在知道的精确值是1.4142135……巴比伦人达到的精度在百万分之一的级别。
希腊数学无疑受到巴比伦和埃及的影响，但走出了独特的道路。
传说中最早的自然哲学家泰勒斯就曾在埃及游学，把埃及人的“测地术”引入希腊，发展出了侧重推理论证的几何学，相传泰勒斯本人证明了几条数学定理，例如“若 两个三角形的两个角和一条边对应相等，则两个三角形全等”。但这些传说都缺乏证据，毕竟早期的文献基本都已经散佚了。但这类传说反映了古希腊人的自我定 位，希腊数学的确从一开始就显示出与众不同的倾向。
说起希腊数学的渊源，不得不提毕达哥拉斯（约前570 -495）。毕达哥拉斯的生平和思想也是迷雾重重，一方面因为文献的散佚，另一方面也是因为毕达哥拉斯本人是一个类似秘传宗教的社团的领袖，很多可能是这 个社团集体的成就也被归于毕达哥拉斯的名下，比如著名的毕达哥拉斯定理（勾股定理）很可能就不是毕达哥拉斯本人完成的。所以我们谈论毕达哥拉斯，更多地是 谈论毕达哥拉斯学派的贡献。
哲学和数学这两个词汇都要追溯到毕达哥拉斯，“哲学”的希腊文原意是“爱智慧”（毕达哥拉斯最早以“爱智者”自 居），“数学”的原意是“可以学的东西”，这两个词放在一块就暗示出某种重要的事情。毕达哥拉斯学派追求的是智慧，而其教授传承的东西是数学，也就是说， 数学在毕达哥拉斯那里不再只是一门实用的计算技术，而是一种真正的、崇高的知识了。
毕达哥拉斯的数学是研究什么的呢？就是研究“数”，但数究竟是什么呢？我们说“一二三四五”是数，三岁小孩就懂得“数数”了，但人们数数的时候数的究竟是什么呢？
原始人数的可能是牛羊，或者手指、石头、刻痕、竹签等等，在古代人那里，数总是什么东西的数。计数活动蕴含着对事物本性的把握，首先，能被计数的东西总是属 于同一类的，其次，被计数的东西又是相互独立可以区分的。比如我们数一只羊、两只羊，这一数数活动就已经蕴含了对“羊”这一个种类的把握，也蕴含了对依次 不同的每一只羊的分辨。如果能把羊和牛放在一起数，那是因为它们共属于一个大类，比如牲畜或动物。总之，计数活动的前提是对“单元”的把握，某种单元就是从属于某个种类的可以彼此分别的东西。
那么作为一般学问的数学，计数的又是什么东西呢？毕达哥拉斯学派认为，数学研究的对象是纯粹的单元，这种单元不止可以用于牛、羊，它适用于宇宙的万事万物，因此毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”的口号，把数学提到了某种本体论或宇宙论的位置。
而 “量”和“数”不同，量涉及的行为是度量而不是计数。量把握的是事物的大小而非多少。在毕达哥拉斯学派的早期，关于量的几何学的地位低于关于数的算术（或 者更恰当地称之为数论）。尽管毕达哥拉斯学派会讨论“有形状的数”（例如三角形数、正方形数等），但一般而言，对数的把握不需要借助外在的感官，而对量或 者对大小的把握则需要感官的介入。
基于万物皆数的信条，毕达哥拉斯学派认为量的问题也能归结为数的问题，有形状的数就是一种例子。
把数学分为四科的传统可能也是从毕达哥拉斯学派开始的，分别是算术（研究静止的数）、几何（静止的量）、天文（运动的量）、音乐（运动的数）。
毕达哥拉斯还赋予了数以各种属性，比如3代表和谐，4代表正义，5代表婚姻，而10代表完美等等。这不是一种单纯的比喻意义，因为万物皆数，把握了数就是把握了万物的奥秘。
之所以音乐也被毕达哥拉斯学派归入了数学的范畴，因为他们发现当琴弦弹出和谐音时，弦长之间总是呈整数比，音乐的奥秘藏在数的比例之中。毕达哥拉斯学派相信宇宙是和谐的，而数学正是揭示万物之和谐的学问。我们在开普勒那里仍然能看到这一传统的影响。
到了柏拉图和亚里士多德的时期，算术与几何的关系发生了变化，这期间有两件事值得一提，一是无理数的发现，二是柏拉图的理念论或者说型相论学说。
无理数据说就是毕达哥拉斯学派发现的，据说第一个发现无理数的人被这个社团扔进水里淹死了。无论这个传说是真是假，都足以暗示这一发现的严重性。
我们刚刚还说到，巴比伦人已经把根号2计算到百万分之一的精确度了，对于“无理数”的运用在其它文明中都不是什么大不了的事情，根号2不能表示为两个整数之 比这件事情有什么要紧的呢？除了希腊人，没有人在乎这件事情。但希腊人却如临大敌。这当然不是因为希腊人特别蠢，事实上许多我们看起来古代人很蠢的地方， 往往不是他们有哪里没想到，而是因为他们“想太多”。
我们说计数的对象是“单元”，然而在正方形斜边和边长之间找不到一个“公约数”，也就是不存在同时能够计数这两条线的单元。这就意味着那种适用于万物的“纯粹单元”是找不到的，这样一来毕达哥拉斯学派的基本信条就被动摇了，当然就是一件极其严重的事情了。
无 理数的存在也意味着，有一些量的问题将无法转化为数的问题，反之，数的问题始终还是可以转化为量的问题，因为用线段表示数始终是可行的，但用数表示线段经 常是不行的。所以几何开始独立出来，并被置于某种比算术更基础的位置，数的比例与量的比例虽然在形式上差不多，但往往被分为两种不同的问题分别讨论。数的 问题能够被当作量的问题来处理，而量的问题不能被当作数来计算，除非所涉及的量是可以公度的。
另一方面是柏拉图的理念论。在柏拉图那里，算 术的地位在一些时候仍是隐隐高于几何的，但柏拉图同时把算术与几何提升为脱离感官的知识，他认为几何学真正面对的并不是可感的现实世界中的那些物体的形 状，而是在超越可感世界之外的可知世界中的理想原型，现实世界是对理念世界的摹仿，而几何学对现实世界中形状的把握只不过是让灵魂直观理念世界的诱导手 段，或者说，只是一种教学方法。柏拉图区分了作图活动和真正的几何学知识，数学家利用工具在沙盘上作图进行的所谓“证明”或者说演示的过程，只是教学的手 段，诱导你直观到永恒不动的真知识。
我们提到过柏拉图的“学习悖论”，柏拉图认为学习只是回忆灵魂原本已经知道的知识。因此几何学的教学虽然需要诉诸感官，但这只是唤醒回忆的启发手段，回忆出来的几何知识本身与感官无关。这样一来，几何学就与属于工匠的实践技艺划清界限，成为真正的知识而不只是模仿的技艺。
几何学作为算术的基础，以及几何学作为一种教学手段，这两件事在欧几里得的《几何原本》都有所体现。
《几何原本》基本上是一部数学教育的入门教材，它的主旨就是教学，而不是构建一套严密的公理体系，
《几何原本》也包括大量的数论内容，数被定义为“多个单元组成的有多少者”，数的问题与量的问题被严格区分开来，关于数的比例论讨论不能直接延伸到关于量的比例论领域。
欧几里得用几何学处理了许多我们现在所谓的代数问题。比如下图中假定AC=CB=a，CD=b，那么这幅图可以用来演示a2-b2=(a+b)(a-b)
希 腊人用几何学来处理量的问题的时候，严格遵守同类性原则，也就是说，只有同类的量才是可以加减可以比较的。比如180厘米高的人和180公斤重的猪放在一 起无法加成任何“360”的什么，因为这两个180量度的是两种完全不同的东西。在几何学上也是类似，直线的量度不能与面积的量度相加，面积的量度也不能 和体积的量度相加，甚至直线的量度和曲线的量度也不能简单地相加。4个或以上的直线的量相乘是没有意义的。我们看到巴比伦人早就能够处理的高次幂在希腊人 这里又被排除了，这又是某种“想太多”的表现，这种影响一直持续到一直到现代符号代数的兴起。
《几何原本》残片（公元100年前后）
欧几里得生活于希腊化时代早期，与他大致同时代的还有两位空前绝后的大数学家，阿基米德和阿波罗尼奥斯。
阿基米德除了在力学上的工作之外，在数学上也有许多成就，他创造大数计法描述非常庞大的数，计算椭球体和抛物线体的体积，用穷竭法把π精确到3.14等等， 他还使用了某些堪称微积分先驱的方法。但阿基米德的著作在古代世界影响较小，其抄本非常偶然地才保存下来，到文艺复兴时期才重新受到重视。还有一部重要的 作品直到1906才重见天日，它曾经被抄写在一卷羊皮书上，然后被擦除，重新抄写了一本祈祷书，20世纪的学者重新复原了其中幸亏并未被擦干净的字迹，复 原出的作品中包含了两篇早已失传的文章。
阿波罗尼奥斯是本轮—均轮模型的创造者，他的《圆锥曲线论》更是影响巨大，他同时为托勒密和开普勒提供了数学模型。
他还有许多著作都已经佚失了。《几何原本》和《圆锥曲线论》反映了希腊时期几何学的最高成就，以至于它们之前的许多著作都失传了。
阿波罗尼奥斯达到了解析几何之前研究圆锥曲线的最高成就，在某种意义上他是解析几何的先驱，但实质上还相差甚远，阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时经常使用某些 参照线，它们的功能有些类似于坐标轴，但这些参照线更多地仍然是根据具体情况在图形上作出的辅助线，而不是先于具体图形就被设立的坐标系。
阿波罗尼奥斯到托勒密之间，在三角学方面有许多发展，我们略过，直接讲到希腊化晚期的丢番图（约246—330年）
丢番图被称作代数学之父，他与传统的希腊数学风格迥异，不再基于几何学，而是用一系列缩写形式来描述方程与不定方程。
他也开始处理高次幂，4次方被称作平方平方，5次方是平方立方，都有某些缩写的表达方式。比如2x4+3x3-4x2+5x-6这个式子可以表达为形如“SS2 C3 x5 M S4 u6”这样的形式，其中S、C、x、M和u分别代表平方、立方、未知数、减和单元（当然它们原本是希腊字母）。
但丢番图没有把他的研究定位于某种一般性的代数法则的研究，他的著作更多地是一部难题集，回答的都是有明确实例的问题，在方程有多个解时，往往只取其中的一个，甚至对那些无穷多解的不定方程，往往也只给出一个解就完了，当然负根和无理数都不被接受。
丢番图在古代数学史中显得独树一帜，当然这也可能是因为他前后的著作都失传了。在中世纪，丢番图影响不大，代数学的渊源主要来自阿拉伯数学家花拉子米，但到了文艺复兴时期，韦达重新阐释了丢番图的著作，推动了现代的符号代数的兴起。
花拉子米我们在讲阿拉伯科学的时候提过了，在某些方面花拉子米要比丢番图“落后”，他没有采用任何缩写形式，甚至连他本人引进的印度数字都很少使用，全文都 是大量的文字叙述。他的代数方法也是基于几何学的，但如果翻译成现代符号的话，我们将发现他关注的问题更接近于现代的代数学。
印度数字连同阿拉伯数学传入欧洲，逐渐流行起来。中世纪的一位著名的数学家是斐波那契（约1170 -1250），他其实叫列奥纳多，斐波那契这个更著名的名字的意思是“波纳乔之子”，他的父亲是一个在非洲经商的商人，斐波那契跟随他父亲向阿拉伯人学习 过数学。他的名著叫做《算盘书》，这部书与算盘没什么关系，但的确偏重于记账、计算利息、汇率等一些商人的实用数学，这本书推广了包括0在内的“阿拉伯数 字”，也引入了用横杠表示分数的方法。
不过他的分数表示往往是相当笨拙的，比如有类似这样的问题：
（《数学史》282页）
与斐波那契同时的萨克森的约丹努斯（1190 – 1237）也值得一提，他的《算术》一书开始尝试用字母来表示一个数。事实上欧几里得就可以用线段或面积来对应数，例如AB和BC的乘积是ABCD，约丹努斯在某些时候把其中一个端点省略了，比如只用C来表示BC，于是他写出了类似的表达方式：
设给定的数是abc，且被分为两部分ab和c，设d是ab和c这两部分给定的乘积，设abc的平方为e，d的四倍为f，且g是e减去f的结果。那么，g是ab与c之差的平方。设h是g的平方根。那么，h是ab与c之差。由于h已知，所以c和ab都是确定的。
我们再跳到文艺复兴时期。随着印刷术的传播，文艺复兴时期的欧洲学者致力于复兴古代学术，在许多古代学术被挖掘出来的同时，它们也被以新的方式理解了。
文艺复兴时期的学者认为数学是一种冷静的学科，他们认为学习数学能够让人们从充满喧哗的经院哲学中解放出来（我们提过经院哲学的主要教学形式是“论辩”）， 强调几何学可以一个人安安静静地学习。但这其实是对希腊数学的某种误解，希腊数学主要还是在一个言传身教式的口语环境下被教学的，几何证明也是一种演示的方法。
而一个人安静地默读这样的学习方式完全是印刷时代之后形成的，在印刷术之前，人们阅读文本的主要方式都是朗读，文本只是辅助语音的工具，而没有获得独立性。
一旦开始把数学从口头传统中剥离开来，结果自然就是那些更普遍和更容易辨识的缩写符号，比起累赘的语言描述，更加受到欢迎。而我们现在可能觉得那些缺乏缩写符号，满篇语言描述的数学文本读着累赘和困难，但设想你身处一个口语为主教学环境中，这就不是什么缺点了。
一旦开始把数学从口头传统中剥离开来，结果自然就是那些更普遍和更容易辨识的缩写符号，比起累赘的语言描述，更加受到欢迎。
文艺复兴时期对希腊学术的许多解读其实是有所偏差的，比如《几何原本》中关于量的比例的讨论过于复杂，文艺复兴早期的翻译者是从数的方面来理解的。另外希腊人的“单元”概念被翻译成了“单位”，这两个概念有所不同，单位是计数的对象，而单位是度量的基准。
这些误读反映出文艺复兴时期试图把数和量统一起来的潮流。当然把数与量混同不分这件事情本身并没有什么了不起的，印度数学、巴比伦数学、中国数学等等，都没 有类似希腊人那种纠结。然而欧洲近代并非是简单地回到了一个懵懂的、实用主义的数学形态，而是在在保留着希腊人对数学作为真知识的信念以及严肃的理论态度 的基础上，打破了区分。毕达哥拉斯—柏拉图主义的复兴重新强调了数的宇宙论地位，另外从中世纪开始，就有了把上帝想象成几何学家的观念，在数与量趋于统一 的同时，数学的理论地位并未跌落。
历史在很多时候的确是某种黑格尔所谓“正—反—合”的辩证过程，区分的打破和从来没有区分是两回事，就好 比从“看山是山，看水是水”，经历了“看山不是山，看水不是水”，再返回到“看山还是山，看水还是水”的境界，这种第三种境界和第一种境界不是一回事。我们之 前还提到现代人打破了希腊人关于自然物与人工物的区分，内在性与外在性的区分，这都不是简单地回到了区分之前的原始状态。
在文艺复兴时期，数学的符号化被大大推进了，现代形式的加号、等号、十进制小数等等都在这一时期形成。
而在符号运算过程中出现的一些“不可理喻”的数开始被人熟悉，例如负数、无理数、虚数等等，它们能够方便地作为运算工具，作为许多运算的中间项得到承认。但 它们的实在性还是不受到承认，因此往往被冠以虚假的数、否定的数、想象的数、诡辩的数等等称呼，不过人们不再像古代数学家那样简单地对它们弃之不顾，而是 仍然用符号表达出来并留存备用。
韦达（François Viète, 1540–1603）对现代代数的建立作出了重要贡献，他提出了参数的概念并与未知数相区分。
传统上虽然早已有使用某些缩写符号来指代未知数的方法，但并没有一种通用的方式来描述一整类代数式，比如ax2+bx+c=0。这就需要与未知数相区别的参数概念。韦达的方式是一律用元音字母代表未知数，用辅音字母代表已知的参数。
这种符号代数完成了某种“抽象的抽象”，在传统的数学中，数字是对事物的抽象，单词或缩写记号也是对事物的抽象，而这里的符号a、b、c是对数字的抽象。这种抽象进一步发展的结果是抽象活动不再是针对事物的活动，而是某种符号与符号之间的活动了。
只有在这种符号抽象的视野下，无理数、虚数等概念才能够被承认。因为如果说数始终都是对事物的抽象，那么负数、无理数和虚数它们所对应的的事物究竟是什么 呢？这个问题直到20世纪也没有完全争论清楚，由于无穷小量、极限、无穷大、非欧几何等概念的加入，数学的“对象”究竟是何物这个问题变得越来越令人困 惑。但如果说这些符号并不是直接针对事物的抽象，而是隔开了一层，是抽象的抽象、符号的符号，那么人们才可以心安理得地把它们的“意义”暂时悬置不问，而 只关注符号与符号之间的关系。
数学符号与现实世界的关系问题一直延续到20世纪初关于数学基础的争论之中，但无论如何，在符号代数的体系 下，我们至少能够像用力学取代自然哲学那样（用“怎样”取代“为何”），用“合法性”（合规则性）取代对“合理性”的诉求，从而接纳各种数学对象——不管 它们究竟指的是什么，只要能够合乎规则地运用，它们就是合法的。
韦达本人仍然坚持同类性原则，也就是只有线和线，面和面才能相加。比如在x3+ax=b这样的方程中，a被称作面，而b被称作体。这一顽固的原则稍后在笛卡尔那里被打破了。
笛卡尔（1596-1650）在数学史上的地位至关重要，当然，我们都知道他发明了解析几何，但关键在于，解析几何意味着什么？所谓的用代数方法解决几何问题蕴含着怎样的思想变革。
解析几何起源于笛卡尔对“普遍方法”的寻求，对“方法”的高扬是现代早期的潮流，而方法一词在希腊人那里指的一般只是教学手段，根据不同的问题，不同的语 境，甚至根据不同的听众，恰当的教学方法是不一样的。而笛卡尔时代的现代人则致力于寻求一种超越具体语境的能够获得一切知识的“普遍方法”，这种诉求是前 所未有的。数学不再是诱导人回忆起知识的教学方式，而成了知识本身的构造方式。
笛卡尔重新阐释了“单位”的概念，把它确定为一种可以任意选取的量，从而打破了量的同类性原则，因为任何一条线段的长度的量可以随时乘以一个单位1从而变成一个面积的大小的量。而这个基本的度量单位脱离于具体的图 形，是先验地设定好的，在任何具体的图形之前就被理解的。笛卡尔的坐标轴不是在图形上作出的辅助线，而是先于任何具体图形就已经得到把握的。
相应地，一个脱离于具体事物的，无限的、均匀的、各向同性的纯粹“空间”概念也得以形成，只有在这种理想的先验空间中，一个物体才能够保持永恒的匀速直线运 动。而在亚里士多德式的有限的、不均匀的、依附于实际物体的“空间”之中，这种运动是难以想象的。我们把这种新的空间称作欧氏空间，但实质上欧几里得的几何学并不必然设定这样一个空间。
数学史的内容实在太多，我们这次课只能讲到这里了。我最 初的教学计划中，是在牛顿和炼金术之间插了一节“数学革命”，而之所以把数学史专题放到现在这个位置，一方面是当时没来得及准备好，另一方面是考虑把数学 史一路讲到20世纪初关于数学基础的争论，但实际上发现这个计划至少需要两节课，准备到笛卡尔的时候发现篇幅就差不多了。所以我实质上还是按着最初“数学 革命”的主题来讲了。其它方面的内容大家可以在课后阅读，或者与我交流。
延伸阅读
卡尔•B.博耶：《数学史》（市面上很难找到反辉格的数学史读物，这一本是我读下来相对而言感觉还不错的）
M·克莱因：《数学:确定性的丧失》（这节课来不及讲的内容可以看这本书）
《雅各布•克莱因思想史文集》（科学源流丛书即将出版）
张东林（博士论文）：“笛卡尔对量概念的变革”
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