孙小礼主编：《现代科学的哲学争论》，北京大学出版社2003年8月第2版，（责任编辑：苏贤贵~~、顾卫宇）
杜洵孙小礼：现代数学的新特点
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数学在走向“专门化”、“复杂化”的同时，各主要学科中许多思想渐趋统一，各主要学科的界限渐显模糊，因此尽管数学科学的内容十分浩繁、范围十分巨大，数学的整体观念却又重新产生了，各门各类的数学科学工作者们又重新意识到他们在从事着一项共同的事业。
////——这是一个好消息。
刘晓力：哥德尔定理及其哲学意蕴
第39~40页
哥德尔所做的工作是，以一阶谓词逻辑的形式语言陈述皮亚诺算术公理《自然数定义+数学归纳法》，同时将所形成的形式算术系统记为PA，在发表于1931年的论文《论〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题I》中，证明了如下两个重要结果：
哥德尔第一不完全性定理：如果PA是一致的，则存在PA命题p，p在PA中不可证；如果PA是ω一致的,则p的否定┐p在PA中不可证（1939年罗塞尔证明可以将条件“ω一致”改为“一致”），即系统PA是不完全的，这样的p称为不可判定命题（即命题和命题的否定都不是系统的定理）。
哥德尔第二不完全性定理：如果形式算术系统PA是一致的，则不可能在系统PA内部证明其一致性。
哥德尔的两个不完全性定理可以更一般地表述为：
哥德尔第一不完全性定理：任何足以展开初等数论的数学形式系统，如果是一致的，就不是完全的，即其中必定存在不可判定的命题。
哥德尔第二不完全性定理：任何足以展开初等数论的数学形式系统，如果是一致的，其一致性在系统内不可证。哥德尔第二不完全性定理的另一种形式是说，任何足够丰富的数学形式系统，如果它是一致的，那么它不能证明表达它自身一致性的命题是定理。
////——哥德尔的论证只要略微了解一下其思路便会感到那是如此的巧妙和神奇！
第40页
可证数学命题和数学真理之间永远隔着一个超穷距离，仅仅使用有穷方法甚至没有希望逼近它。正如哥德尔所说，“数学不仅是不完全的，还是不可完全的”，这一点也恰是哥德尔定理的最深刻义蕴。
////——除了后面作者所说的对人工智能哲学方面的影响外，哥德尔定理得深刻影响显然还有更广泛的领域。例如在物理学领域，霍金最近也开始承认物理学中或许也存在哥德尔定理类似的东西使得“万有理论”的最终发现成为不可能。在哲学上，从亚里士多德到德国古典哲学以来所坚持的“体系化”的追求也难免受到哥德尔定理的打击，历来的许多大哲学家们不懈地做着将哲学科学化、将科学数学化的努力，但哥德尔定理无情地表明，不用说将哲学科学化或将科学数学化是否可能，即便就是达到了代表最为严谨的科学的数学，也是注定不可能是完备的，将哥德尔定理做一个简单的转换就变成了：一个哲学体系，如果它是自圆其说的，那么它便不能证明它是自圆其说的。当然，这只是说通过将哲学科学化将科学数学化这样来构建封闭的哲学体系为不可能，但并没有否决通过其它途径建立其它样式的哲学体系的努力。事实上，哥德尔定理也恰恰证明了形而上学的价值，因为既然数学体系的真理性不能由其内部产生而必须借助别的东西，那么这种保证科学的真理性的东西就只能是某种信仰的东西或者某种形而上学的东西。哥德尔定理表明了，即便是数学，也是有其内在的局限性的，但数学的强大力量表现为它竟能够“证明”自己的局限性，真理不仅永远不可能达到，甚至是没有希望“逼近”的，我们也应该醒悟到人类知识的必然的局限性，那种相信人类知识最终将完全掌握或者无限逼近这个世界的一切知识的幻想应该是破碎了。
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定理发现之后，人们不得不重新调整自己的思维方式。著名数学家外尔当时曾就此感慨道：“上帝是存在的，因为数学无疑是一致的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种一致性。”
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哥德尔首先严格区分了心、脑、计算机的功能后作出了明确断言，大脑的功能不过像一台计算机，心与脑同一的观点却是我们时代的偏见，但不完全性定理不能作为“人心胜过计算机”论断的直接证据，要推出如此强硬论断还需要其他假定。
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1961年美国哲学家鲁卡斯首先以激烈言辞撰文《心、机器、哥德尔》，试图用哥德尔定理直接证明“人心超过计算机”的结论：“依我看，哥德尔定理证明了机械论是错误的，因为，无论我们造出多么复杂的机器，只要它是机器，就将对应于一个形式系统，就能找到一个在该系统内部可证的公式而使之受到哥德尔构造不可判定命题的程序的打击，机器不能把这个公式作为定理推导出来，但是人心却能看出它是真的。因此这台机器不是心的一个恰当模型。”这就是著名的鲁卡斯论证。
////——哥德尔定理干涉人工智能的争论是非常有意思的。但是我感觉哥德尔定理不可能直接论证“人心胜过计算机”，不过哥德尔定理应该对人工智能的开发思路将产生重要的影响。。
王雨田：系统科学哲学研究的一些问题
第78页
例如悲观派引用哥德尔定理作为论据，而根据哥德尔本人的看法，这一定理与其证明了机器的局限性，还不如说更证明了人的认识的局限性。
郝柏林：世界是必然的还是偶然的？——混沌现象的启示
第102页
混沌不是无序和紊乱。一提到有序，人们往往想到周期排列或对称形状。混沌更像是没有周期性的次序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次、层次之间存在着“自相似性”或“不尽相似”。在观察手段和分辨率不高时，只能看到某一个层次的结构。提高分辨率之后，在原来不能识别之处有会出现更小尺度上的结构。《易乾凿度》说“气似质具而未相离，谓之混沌”，看来混沌二字比英文的chaos更能反映这种状态。
////——我个人感觉混沌是20世纪新兴科学最能令人感到惊奇和赞叹的之一，其奇妙的哲学意蕴应该是远大于相对论，可与量子力学相提并论，而混沌理论看起来又似乎比量子力学更容易理解。除了必然还是偶然这一问题外，混沌还对其它许多哲学问题，比如我们整个世界的图景，以及经济学、社会学、生态学、信息科学等等诸多领域有深远的影响。是十分值得关注的。
赵凯华：“热寂说”的终结
第137~138页
五、大爆炸与“热寂说”的终结
上面我们对大爆炸宇宙模型建立过程的叙述可能有些“不厌其烦”，本意是借此说明，这个模型早已不是纯粹思辨的产物，它是有翔实的理论和观测基础的。一旦承认宇宙诞生于大爆炸之后一直在膨胀，则它的组分相互会脱耦，从热力学平衡态发展到不平衡态，从温度均匀到产生温差。这种现象在静态宇宙模型中不可能发生，也是克劳修斯和他的批判者们都没有想到的。
宇宙是个自引力系统，它在力学上和热力学上都是不稳定的。力学不稳定使密度均匀的宇宙产生团块结构。自引力系统具有负热容，具有负热容的系统在热力学上也是不稳定的。它没有平衡态，不能把通常的热力学第二定律用于其上，如果要在这里说到熵，我们欣赏泽尔多维奇的看法，对于引力系统，密度均匀态并不是概率最高的。宇宙中均匀物质凝成团块（星系、恒星等）的过程中引力势能转化为动能。从均匀到不均匀，位形空间里的分布概率减少了，但温度上升，速度空间里的分布概率增加了。两者相比，总概率是增加了，而不是减少了。这就是说，天体的形成是引力系统中的自发过程，它的熵是增加的。由于不存在平衡态，熵没有最大值，它的增加是没有止境的。
总之，膨胀的宇宙模型我们面前展现的是依附于“热寂说”完全相反的景象：宇宙早期市基本上处于热平衡的高温高密度的“羹汤”，从这个单调的浑沌状态开始，一步步发展出愈来愈复杂的多样化结构。于是，在微观上形成了原子核、原子、分子（从较简单的无机分子到高级的生物大分子），宏观上在万有引力的作用下演化出星系团、星系、恒星、太阳系和地球。然后又在地球上演化出生物来，直到出现像人类这样的智慧生物和他们组成的愈来愈发达的社会。古埃及神话中的凤凰鸟焚身于烈火之后，从自己的灰烬中青春焕发地再生。这真是当代宇宙观的一个绝妙的写照！宇宙不但不会死（热寂），反而会从早期的“热寂”状态（热平衡状态）下生机勃勃地复苏。固然，当今的宇宙学尚不能预卜宇宙的最终结局（如果有的话），但是折磨了物理学界一百多年的梦魇——热寂说，作为历史的一页，可以尽管放心的翻过去了。至于按现代宇宙学的观点，宇宙的前景如何，那是另外一个问题，与这段历史公案无关。
////——诚如作者所言，作者在之前化了过多篇幅讨论了大爆炸理论，不过这也难怪，在本文成文的80年代末，大爆炸理论在中国可能还没有成为一项被公认的科学理论，而随着大爆炸宇宙模型被普遍认可，这方面的讨论便显得多余了。问题的关键在于：大爆炸理论如何与热力学第二定律取得一致，即宇宙为何能从一个热力学平衡态发展出高度有序的结构来。
质疑前北大物理学系主任的物理观点显然是我没有资格做的事情，不过我早前正好看过一些相关的科普著作——好像是保罗·戴维斯写的，暂时没有查到出处——我对热寂问题也算是有了些自己的了解，这里就按照自己的理解来说一下。
赵凯华指出了一个重要的要害，这也是我看到的相关科普书中提到的，也就是将热力学定律应用在宇宙模型上是必须考虑“万有引力”的因素。在不考虑万有引力的一个小的封闭系统中，概率最高的状态，也就是热力学平衡态，确实是密度均匀态。然而，在考虑到万有引力的作用时，情况颠倒了过来，物质由引力作用自发地形成星团反而成了熵增的过程。但是对一个万有引力作用下的系统而言（暂不考虑宇宙的膨胀，这里先讨论一个空间上封闭的足够大的系统），并不像赵凯华所言，不存在熵的最大值。我们可以进一步想象下去：形成星系比起密度均匀分布而言是熵增的过程，而星系和星团发展到最终将会变成什么？——质量足够大的星系最终会自发地形成黑洞，而小质量的星系以及其它游离的物质随着在空间中的随机运动终有一天将撞上某个黑洞而被其吞噬；也就是说一切为黑洞所吞噬是一个静止的万有引力系统的最终归宿，黑洞是时空的边界，宇宙中只剩下黑洞也就意味着宇宙的终结。当然，根据霍金的理论，黑洞还会辐射出能量来，黑洞最终的归宿是在爆炸中消亡，最后把所有的物质全部转变为能量。事实上，热力学第二定律所表达的另一个关键意义是说物质可以自发地转变为能量，但能量却不会自发地凝聚成物质，到了此时，可以说是一个万有理论系统走到了真正的终点了。
接下来需要考虑赵凯华提出的另一个不能忽略的因素，也就是宇宙的膨胀。而事实上，“膨胀”可能就是宇宙可能以热平衡态作为起点的奥秘所在。考虑一个膨胀的万有引力系统，这个系统中有物质粒子，也有以辐射形式存在的能量，在平衡态时它们的温度是相同的，随着整体空间的膨胀，这两者都会逐渐“降温”，然而它们降温的速率是不一样的（具体怎么回事我有点忘记了），那么这种由膨胀带来的“温差”便使得原来的平衡态变成了不平衡态，使得能量的流动成为了可能。而根据我看到的科普读物所言，只有当这个膨胀过程是加速的时候，这种不平衡态才有可能被一直保持着。当然，这个理论大概也还是一种假说。
从以上我们得到的结果是：如果宇宙膨胀将趋于静止，那么热寂就表现为所有物质先被黑洞吞噬，最终转变为热辐射而消散。要避开热寂的梦魇则宇宙只可能是不断膨胀的（而且很有可能是始终加速膨胀的），这样一来物质之间将免不了相互无止尽地远离，最终的结果即便不是热寂，也是宇宙的最终消散，这种结果与热寂的结果相比并没有太大不同。
当然，现代宇宙学的发展并没有彻底否决宇宙永远不会灭亡的可能性（尽管显得十分渺茫），研究宇宙的结局，除了相对论物理学，可能还需要借助量子物理乃至大统一理论等等，但无论如何，说“热寂说”已经可以“放心地翻过去了”，似乎是过于简单了……
何祚庥：“EPR佯谬”和有关的哲学问题
第148页
我们不难得出下列结论：
（1）量子力学与实在论的假定，亦即“世界是由独立于人的意识之外而存在的客体构成的”这种学说没有任何矛盾或不相容的地方。
（2）在量子力学理论中，决定论的实在论没有得到实验的支持，实验所支持的是定域的，但又是随机的或统计式的并且“不依存于人们的意识而存在”的实在论。
////——EPR佯谬是我十分关注的奇妙玩意儿，这个从我博客的名字上就能看出。当然，在这里我不可能讨论那么深刻的物理问题。不过何祚庥的文章并没有让我十分满意。
何祚庥说得没错，量子力学并没有否定世界是独立于意识之外的存在，然而它所揭示的其实是：意识是否参与认识以及以怎样的方式去认识这一过程影响着我们所认识到的结果。在意识之外，有没有独立存在的客体——也可以说就是“物自体”——这一点确实没有被量子力学否定，但是我们所能认识的，也就是可能在我们的意识中被反映的东西，都必然不是独立于意识之外的，都必然是在我们意识的作用下形成的东西。
退一步讲，即便说上述结论也并没有得到量子力学的支持，量子力学也至少是极大地改变了我们对于“实在”的观念。即便说量子力学可以支持某种“实在论”，但是这种“实在”与我们传统意味上指的“实在”也将存在巨大的差异，就像何祚庥在第二条结论中写的，这种实在竟然是“随机的”。丧失了确定性的“实在”还能够被称为“实在”吗？无论如何，量子力学对传统实在观的颠覆是巨大的。
洪定国：量子力学与实在论—反实在论之论证
第151页
从被动方面看，形而上学是不可避免的，问题是怎样采取一种正确的态度。玻姆说得好：“许多现代哲学家和科学家都说不应该搞形而上学，但事实上，即便是发誓不搞形而上学的人，都有甚至在儿童时代就形成的形而上学观念。因而都受到某种形而上学思想的控制。因此，探索自己的形而上学观念，对它们质疑，并提出新的形而上学观念取而代之，便是有价值的了。”
从主动的方面看，形而上学是必要的，这一方面是数学中关于数学形式体系不完全性的哥德尔定理启示我们的。这定理告诉我们：在任何一个数学形式体系内，可以构造出在该体系内既不可证明，又不可证伪的真命题来。这就是说，这种命题的真要借助于形式体系之外的手段来判断。毫无疑问，哥德尔定理完全可以应用于形式化的物理学理论（它仅具有逻辑—算法的意义）。具体地说，形式化的物理学理论必包含自身无法证明、也无法证伪的真命题。这些真命题的真要借助于该理论之外的手段和观念来判断。因此，为使形式化物理学理论的意义完全起见，对它的哲学拓展就是必要的了。
第155页
在BBB（德布罗意、玻姆与贝尔三人姓氏的缩记）理论中，“观察者”不再处于理论的基础地位，可存在量取代了可观察量。它们的存在，不依赖于“观察”；相反，观察仪器和观察行为以至观察者反而出自于克存在量。在BBB理论中，全域可存在量的状态与定域可存在量的行为之间的交叉关联，由量子力学动力学方程确定。这种本体上整体与局部之间的崭新关系，贯穿于一切测量的与非测量的量子力学问题之中，它乃是量子本体区别于经典本体的一个本质特征。这一特征称为量子系统的EPR非定域相关性，或量子系统的不可分隔性，或量子实在的整体性。然而，当量子力学的全域存在量对于定域可存在量的影响，远弱于经典相互作用的影响时，量子系统便解体了，两子实在也就退化为可以用经典物理学描述的经典实在。因此，在这种量子力学的拓展模型中，可以实现量子实在与经典实在之间的连续过渡，两者之间没有不可逾越的鸿沟。
胡新和 罗嘉昌：关系实在论——一种关于量子力学的实在论观点
第162页
对关系实在论最完整最有力的论述来自雅默的名著《量子力学的概念发展》和《量子力学的哲学》。在前者的“结束语”中他指出关系的实在性“在现代物理学中得到完全的确证”，相对论和量子力学分别揭示了第一性质是相对于参考系和观察手段的，在后者中他专门分析了“量子态的关系概念”，指出对一个态的描述，不是限于待观测的粒子，而是表示粒子与全部仪器间的关系。因此不能单独赋予前者以物理实在的种种属性。
尤广建：关于物理学的统一
第185页
物理学统一的进程，已经极大地扩展了物理学的研究领域。对此，爱因斯坦曾说：“我们所说的物理学，包括这样一类的自然科学，它们的概念是以量度作为根据的，而且它们的概念和命题可以用数学公式来表示。因此，在我们全部知识中，那个能够用数学语言来表达的部分，就划为物理学的领域。随着科学的进步，物理学的领域扩张到这样的程度，它似乎只受这种方法本身的界限所限制。”（《爱因斯坦文集》第一卷，商务印书馆1976年，第384页）
余谋昌：关于灾变论的讨论
第266页
（许婧华）问道：“世上有生存竞争吗？它是进化的关键吗？当大灾难来临时，有足够的时间吗？幸存者永远是适者吗？或者，明白地说，它们是最幸运者！”（《祸从天降》第19~20页）
龚育之：新世纪科技发展的人文思考——兼论所谓反科学主义
////——这篇文章中，老先生开篇指出了“对科技发展作人文思考”，马克思和恩格斯是“老祖宗”。这一点我是相当认可的，马克思的相关观点至今仍是相当有力的。而随后老先生对当前“流行”的“反科学主义”所做的反思也有十分合理的地方，这篇文章是值得仔细阅读的。当然，我不能认同老先生的许多论点。现今的中国一方面是许多地方缺乏科学精神和科学方法，这是一个重要的问题，但是另一方面“科学”——作为工具理性的“实验科学”而不是传承于古希腊的“科学精神”——的过度泛滥也是一个相当重要的问题。“唯科学主义”还是要“反”的。我们希望为科学以外的东西，比如宗教，留下空间，但是我们将始终坚持用科学的方法、科学的精神（而不应该用宗教的、神秘主义的玄思或任何非理性的方法），去揭示科学自身的限度，通过科学的思考方式来否决科学万能论。——上面一句话中的“科学”指的是传承于古希腊的那种理性的精神。
2006年1月27日
