彩虹的科学说明

一个简单的说明

摘自百度知道：http://zhidao.baidu.com/question/4311857.html

彩虹是因为阳光射到空中接近圆型的小水滴，造成色散及反射而成。阳光射入水滴时会同时以不同角度入射，在水滴内亦以不同的角度反射。当中以40至42度的反射最为强烈，造成我们所见到的彩虹。造成这种反射时，阳光进入水滴，先折射一次，然后在水滴的背面反射，最后离开水滴时再折射一次。因为水对光有色散的作用，不同波长的光的折射率有所不同，蓝光的折射角度比红光大。由于光在水滴内被反射，所以观察者看见的光谱是倒过来，红光在最上方，其他颜色在下。

造成彩虹的光学原理很多时候会见到两条彩虹同时出现，在平常的彩虹外边出现同心，但较暗的副虹(又称霓)。副虹是阳光在水滴中经两次反射而成。两次反射最强烈的反射角出现在50°至53°，所以副虹位置在主虹之外。因为有两次的反射，副虹的颜色次序跟主虹反转，外侧为蓝色，内侧为红色。副虹其实一定跟随主虹存在，只是因为它的光线强度较低，所以有时不被肉眼察觉而已。

彩虹其实并非出现在半空中的特定位置。它是观察者看见的一种光学现象，彩虹看起来的所在位置，会随著观察者而改变。当观察者看到彩虹时，它的位置必定是在太阳的相反方向。彩虹的拱以内的中央，其实是被水滴反射，放大了的太阳影像。所以彩虹以内的天空比彩虹以外的要亮。彩虹拱形的正中心位置，刚好是观察者头部影子的方向，虹的本身则在观察者头部的影子与眼睛一线以上40°至42°的位置。因此当太阳在空中高于42度时，彩虹的位置将在地平线以下而不可见。这亦是为甚么彩虹很少在中午出现的原因。

彩虹由一端至另一端，横跨84°。以一般的35mm照相机，需要焦距为19mm以下的广角镜头才可以用单格把整条彩虹拍下。倘若在飞机上，会看见彩虹会是原整的圆形而不是拱形，而圆形彩虹的正中心则是飞机行进的方向。。

自己尝试的进一步说明

需要说明的现象是：为什么能看到彩虹？为什么彩虹的外侧是红色而内侧是紫色？为什么彩虹呈现圆弧形并且观看彩虹的视角总在42度左右？虹外侧较淡的霓是如何形成的？为何彩虹往往在下午三点左右出现而极少在中午出现？

论证如下：

空气中有足够多的水雾（小水滴）， 边界条件

小水滴可近似地看作球形。（可用液体的表面张力等进一步说明） 经验事实

太阳光可看作各种波长（各种颜色）和偏振混合的均匀的平行光线。 经验事实

虹是因太阳光在小水滴中经过两次折射和一次反射形成。假设

先考虑一束红色光线在一个小水滴中的两次折射和一次反射的情况：

折射定律——入射光线与通过入射点的界面法线所构成的平面称为入射面，入射光线和折射光线与法线的夹角分别称为入射角和折射角，折射光线在入射面内；入射角和折射角的正弦之比为一常数。 普遍定律

如图1所示：设入射角为α折射角为β，阳光被偏折的角度为θ，水滴半径为1。

在经过两次折射和一次反射后出射光最强的角度下可以看到虹。假设

红光在水中相对于空气的折射率n₂₁约为1.33。 经验事实

有： ①

设球心到入射光的距离为x，x=sinα ②

在如图1所示的截平面中，由于太阳光是均匀的平行光线，即入射光在任一个与入射方向垂直的单位长度上的强度是一致的。

当x变化为x+Δx时入射光强几乎不发生变化。设入射光强为P_入，出射光强为P_出

设P_出=A(α)·P_入,

A(α)即光线经折射和反射后的衰减率，它与α有关，然而当我们考虑出射光最为集中的角度时，α将在一个较小的范围内浮动，因此A(α)可近似视作常数。于是，影响某一视角下出射光线强度的主要因素是出射光的密集程度。（注：电磁波在均匀介质间的折射率和反射率可由菲涅耳公式计算，考虑自然光中的s波和p波可看作各占50%，但本题牵涉到3次折射或反射，计算极为复杂，但可如前述将其变化近似忽略，在此不详证。）

（补注：之前的注解只是蒙混过关，事实上，光强反射率与光强吸收率随α的变化难以如此简单地简单忽略，试想在α=0时，光线在水珠内部的那一次反射是最小的，绝大部分的入射光都会透过水滴而出；而当α接近90°时，虽然在水珠内部的反射因为接近全反射而损耗最小，但两次折射的损耗却最大，也将损失绝大部分的入射光；光强损耗最低的情形在α为0～90°之间的某处取到，好在忽略这一参数的结论与经验观测足够吻合，或许当θ最大时与光强损耗率最小的情形足够接近。但求3次折射或反射的光强折射率和反射率的极值需要考虑光的偏振以及面对繁琐的三角函数表达式，我个人没有想到较好的化简方式，关键在于p光和s光的情形是很不一样的，可参考右图：红色部分和黄线分别表示两种偏振的红色光分别的相对光强，箭头所指为θ在42°左右的情形。关于分别考虑入射光两种电场方向时的相对光强变化情况可参考：http://www.phy.ntnu.edu.tw/oldjava/Rainbow/index.html，但我不知道该网页的计算方法，也不清楚他的结果是否有问题。）

当x变化了一个Δx时，θ变化了一个Δθ，由于x的变化时光强均匀的，因此，当Δx极小时时，Δθ的变化率越小，出射光线就越为密集。

考虑Δθ的微分，当dθ/dx为0时，射出的光线最为密集。

（注：这里可以从另一个角度说——在θ的极大值附近，θ关于x的变化率是最小的，也就是当θ=4β-2α取极大值时，θ随x变化的变化率最小，这大概也是笛卡尔的思路。然而要在数学上而不是用实验去计算θ的极值时，仍然需要用求导数为0的方法，计算过程与结果都是一样的。区别是，从出射角的极大值出发考虑是较为直观的说明，虽然容易理解，难以进一步说明为何在极值附近θ的变化率最小，而直接采用微分来说明，虽然不够直观，然而由于微分的方法本身就是用来描述“当Δx极小时y的变化率即Δy/Δx”的，因此是一种更为直接的说明。）

求导数：θ’：

由①②知，θ=4arcsin(x/n)–2arcsinx