如何理解“证明”是“数学基础”的核心概念

首先需要注意,“证明”是一个古老的概念,而相比之下,“数学基础”是一个较新的概念;自古希腊起,“证明”就是西方数学传统中最核心的概念之一,而“数学基础”这一论题或学科分支主要是在十九世纪末和二十世纪初才兴起的。

“证明”的要求使得西方文化中的数学不同于算术和测地学,数学追求的不仅仅是得出一个有效的结果,更在于严密推演论证的过程。但即便是在西方传统之内,对于数学证明的理解也绝非一成不变。而之所以说“证明”是“数学基础”的核心概念,正是因为整个数学基础问题的争论恰恰是基于某些对于“证明”的理解而开展起来的。

我们值得注意的是,既然追求证明的数学源远流长,而为什么“数学基础”或者“元数学”之类的论题直到20世纪才如此突显出来? 这正是因为“证明”概念本身的发展,也就是对数学本性的理解的变化,才使得数学基础问题摆上台面。

我们现代人会把数学证明理解为“一个类似于建筑结构的概念。它把数学知识区分为基础和大厦。其特征可以简单的表述如下:数学命题应分为两组,一组需要其它命题的证明,称之为定理;一组可以证明其它命题而它们本身却不需要任何证明,称之为公理。公理是整个数学知识的基础,定理是建立在这些基础上的上层建筑。”但这只是对数学证明的一种特定的理解,如果说这种理解自古以来就是主流,那么我们如何想象“数学基础”问题以及公理化运动直到十九、二十世纪才突然兴盛起来?

尽管“公理”的概念早在柏拉图的时代就已经树立起来,而在《几何原本》中得到了极致的表达。然而,一方面,欧式几何并不是古典数学的全部,另一方面,欧几里得的公理也未必就被理解为整个几何学的“基础”。在定理和公设之前至少还有一长串的定义,这些定义提供了对数学概念的直观理解。在现代人看来,这些定义完全是多余的,对概念意义的“定义”也是通过公理来表达的,但欧几里得显然并不认为定义是不必要的。在古希腊人眼里,数学恐怕首先还是奠基于人类的直观概念之上的,是以解释性的定义,而不是以公理为起点的。

由于现代人把数学知识看作是“命题”的集合,而“证明”被看作是在命题与命题之间加以联结的东西,因此“证明”当然就成了“数学基础”的核心概念。然而数学知识总是被理解为“命题”的集合吗?当我们想到“数学包括哪些内容”时,我们只是想到了一条一条的定理吗?不是的。我们首先会想到诸如“代数”、“三角函数”、“解析法”、“微积分”、“群论”等等。这些数学的“内容”首先并不是呈现为命题或定理,而是呈现为特殊的“方法”。数学的内容首先是作为各种各样的处理问题的方法而出现的,只是在具体运用和发展某种方法时,再涉及到命题与逻辑推演的问题。数学的进步也首先表现为方法的拓展,例如使用未知数来建立等式,使用代数来处理几何,用穷竭法来求面积等等,数学家们的重大功绩在于新方法的发明,在于新思路、新视角的开启,而一条一条定理的证明是在特定方法和思维已然开启的前提下才成为可能,至于对整个定理系统的公理化,则是最为滞后的事情,直到这一门方法臻于成熟,以至于足以固定于教科书之后,才可能逐渐完善其公理体系——《几何原本》也正是这样一本教科书,只是在整个领域基本成型和已然完善的情况下,才最后树立其公理体系。正如M·克莱因所言:“自然,数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的,而不是由那些长于做出严格证明的人们。”从数学发展的实际情况来看,如果说公理是数学的基础,那么不得不承认整栋数学大厦是倒着盖的。

许多现代人轻视数学作为创造性方法的面相,而只注意其严密论证的一面,把作为命题与命题之间进行粘结的演绎或证明看作是数学工作的全部内容,因此,“公理”便获得了“数学基础”的名义。对“公理”的要求古已有之,然而把公理视作数学基础来要求,则是源于现代人对“证明”的特殊的偏执。

把数学知识比作大厦本身也是不恰当的。这似乎是把数学知识看作是静止的,现成摆在那里的东西。这当然是一种柏拉图主义的知识论。然而即便是按照柏拉图主义的思路,把真理看作是理念世界中的一栋永恒不变的牢固大厦,但人类的知识仍然是发展着的。按照柏拉图看来,真理并不是证明出来的,而是固定于理念世界之中的只能通过心灵之眼直观东西,而“证明”是一种下降的过程。再极端的柏拉图主义者,也不至于把现实世界中人类的数学知识视作静止不变的东西。那么人类的数学知识是如何生长变化的呢?是像一座大厦那样,在固定的基础上不断向上搭建吗?显然不是。F·克莱因说得好:“事实上,数学已经长得像颗大树,但它不是从最细的根部开始生长的,也不是只向上生长的,相反,在枝、叶扩展的同时,它的根向下扎得越来越深……。那么,我们就能看出,数学中的基础是没有最终结局的,从另一方面讲,也没有一个最初的起点。”

即便把整个数学比作一座大厦,我们也不能仅仅关心它的形式架构,如果说公理体系是数学大厦的形式因,那么它的质料因、动力因和目的因也同样重要。公理体系的搭建依赖于逻辑,“证明”要使用逻辑,但并不是数学依赖于逻辑,否则就像维特根斯坦讽刺的那样:“人们几乎要说,做家具就在于粘胶。”正如M·克莱因所说,“是逻辑依赖于数学,而不是数学依赖于逻辑。”他承认,数学的严密化的结果是:“没有哪一条算术的,或代数的,或几何的定理被改变了,而分析中的定理也只是按要求更加小心地陈述罢了。实际上,这些新的公理结构和严密所作的一切,本质上都是数学家们过去就已经知道了的。确实,与其说这些公理能推断出什么定理,倒不如说它们只能承认那些现成的定理,所有这一切都意味着:数学发展不是依靠在逻辑上,而是依靠在正确的直觉上。正如阿达马指出的,严密化仅仅是批准直觉的战利品,或者像外尔所说,逻辑是数学家保持其思想健康和强壮的卫生学。”

外尔等直觉主义数学家将逻辑比作“卫生手段”是相当贴切的。直觉主义从不否认逻辑的重要意义,然而,好比说:直觉是数学的血液——它提供能量和动力;而感官和经验是数学的食粮,数学家们从自然中、从经验中汲取养分;而逻辑则是“卫生手段”、增强体质和防病治病的保健品和药品,帮助数学趋于稳定、成熟和完善。以这样的比喻来看,各要素间的地位关系就一目了然了,直觉使数学获得生命,经验使数学成长,而逻辑则使数学强壮。但忘记了甚至抛弃了血液和食粮,光靠药品,非但不能保持强壮,连生命都无法维持。

直觉主义者对于“证明”的地位有着最为清醒的认识。他们一方面最“重视”证明,甚至可以说直觉主义的逻辑体系无非就是用“可证明性”替换了柏拉图主义的“真值”的地位。同时他们也最不重视证明,在他们看来,再严密的形式系统也无非是一种“语言”,语言之所以有意义是在于通过它能够传达和交流思想,而不是在于形成一部严密的语法词典。海廷说道:“直觉主义数学家建议把数学工作作为他的智力的一种自然功能,作为思想的一种自由的有生气的活动。在他看来,数学是人类精神的产物。他运用语言,不论是自然的或形式化的,只是为了交流思想,也就是使别人或自己能懂得他自己的数学想法。这个语言伴随物不是数学的代表,更不是数学本身。”

总而言之,在我看来,“数学基础”这一提法,也就是说,把证明所基于的公理系统的设立问题视作整个数学的“基础”,这种视角本身是误导性的。证明是数学的核心概念之一,公理化也是数学发展的要求,但并不是唯一的事情。


见冀老师讲义

[美]M•克莱因:《数学:确定性的丧失》,李宏魁译,湖南科学技术出版社2003年,第323页

[美]M•克莱因:《数学:确定性的丧失》,李宏魁译,湖南科学技术出版社2003年,第325页

涂纪亮主编:《维特根斯坦全集》,第七卷 论数学的基础,徐友渔涂纪亮译,河北教育出版社2003年,第209页(V§24)。

[美]M•克莱因:《数学:确定性的丧失》,李宏魁译,湖南科学技术出版社2003年,第238页

[美]莫里斯·克莱因:《古今数学思想》(第四册),邓东皐张恭庆等译,上海科学技术出版社2002年,第99页

阿伦特•海廷:数学的直觉主义基础:见[美]保罗•贝纳塞拉夫希拉里•普特南编:《数学哲学》,朱水林应制夷凌康源张玉纲译,陈以鸿王善平校,商务印书馆2003年,第60页

最新评论

  • 叶子球

    2010-07-02 09:26:24 匿名 10.8.0.2

    现在数学教学偏重于一堆定理的证明,忽视了数学方法的培养

  • 季札

    2010-07-03 20:53:26

    刚买了《数学:确定性的丧失》,还没开始看。。古今数学思想没看完。太懒了啊

关于 古雴

胡翌霖,清华大学科学史系助理教授。本站文章在未注明转载的情况下均为我的原创文章。原则上允许任何媒体引用和转载,但必须注明作者并标注出处(原文链接),详情参考版权说明。本站为非营利性个人网站,欢迎比特币打赏:1YiLinDDwvBLT19CTUsNHdiQhXBENwURb

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