数学是个技术活……关于中学数学的学习补充

去年写过一篇“关于中学数学的学习”,下面的讨论可以说是对那里的补充。那篇文章的最后给出了所谓很“起源”的数学题,这次的讨论正好是接着开始的。

以下是和UNIC聊天记录的摘选,懒得重新再写了,就这样备案存档吧。我能够帮助你的也只有这些空谈了,因为数学既然是一个技术,数学的“教练”是必须要手把手教才好的,通过QQ聊天来教数学是无法体现我的价值的。没有系统地当过一次数学“教练”是一个遗憾。或许等我的朋友们,你们有了下一代时,如果记得,来请我教数学,我会很乐意的。

……

给你看的,所谓起源之类,不是知识,而是技术的演示

数学的技术在应对任何题目时都是一样的

知识就是什么叫三角函数,三角函数的定义,什么叫直角坐标系等等

练上手的技术时并不在于你针对怎样的题目,面对那些复杂高级的题目时,由于其中势必掺杂许多知识点,所以技术的成分不鲜明了,但在做那些最基础的,“起源”的问题时,几乎没有什么知识点需要你事先掌握,所以考验的就是纯技术。这是我从那些题目开始让你体会的初衷了。

比方说,你要当一名乒乓球运动员,那么可能需要系统地学习一些方法,比如如何打弧圈球,如何更好地打弧圈球等等。但是,如果你只是想随便玩玩的程度,根本不需要学习什么,反复玩,一直玩,就能顺手了。

但是你如果没有玩,只是学,那么怎么样学都不会打

反复地操练能够弥补知识学习的缺乏,但是反之却不然,知识的学习不能弥补你操练的缺乏。

而且,技术的学习更多地不是记忆,而是模仿和适应

需要你练成的,不是丰富的知识积累,而是“条件反射”

拿到一道题,立刻就知道怎样做。这靠的不完全是来自天赋的数学直觉之类,简言之就是条件反射。是可以训练出来的。

/——但是我总感觉不同的题有不同的做法啊

根本上来说都是一样的

每一盘棋的走法都是不同的对吧

但是你是怎么学会下棋的呢?

事后总结的话,可以把一些手法分类描述,比如削球啊、抽球啊,但是各种技巧之间并不是界限分明的,实战中有些球更可能不遵循任何一种套路打过去,而这种击球的方式可能是你从未学过的,但看准了就打过去了,打完了事后你再去反省体会,比如,哦这个是弧圈球,你第一次打出来了,体会体会当时的感觉,下次可能再打一个,如此你便学会了

所以什么分子有理化之类的,根本不必先学后用,而是都可以先用后学的。

/——但那要好长时间~~哎~那下辈子我也去学奥数好了……普通应试教育这样的机会很少

用不了多长时间

奥数不同了,用奥林匹克来命名,其实学奥数的和运动员是类似的,训练方式又有不同。而一般的数学学习用不着集训

你从不会骑到学会骑自行车用了多少时间?

很容易就上手的,但做自行车运动员就是另一回事

学自行车也就是模仿加适应

学数学也就这么回事

归根结底它就是一个技术,而不是像英语那样要背单词等等。当然英语也可以完全当作技术来学习,不过那样效率较慢,但也能成功。

学习知识只是对技术学习的补益,相当于指路牌之类的作用,归根结底知识也是落实在技巧里头的。

你还可以发现,“例题”在理科教材中的地位。虽然文科的课程也有考试,也有题目,但是它的教材里不必演示“例题”,然而任何一本理科教材,特别是数学教材,其中最大的篇幅就是例题。

例题是什么?例题是干吗的?例题就是“演示给你看”,他就是先跟你说一下如何打乒乓,然后再示范给你看一看,最后然你自己上场练。例题就是这个示范。

由此可见数学作为技术的本性。

有些知识点是在例题之前给出的,有些则是通过例题给出的,在例题之后回顾而给出的。也就是说实战是基本的,而知识实在是通过对实战的回顾和反省而得到的。

/——技术和观察先于知识?

总是先有炮兵,再有的弹道学

/——那么如何具体实施呢?

操练

当时我让你看书的时候我也说,看书时是要始终拿着纸笔不停地做题,才叫看书。数学书是不能躺在床上捧着看的。

/——题外话一句~~~哲学学习你觉得是什么样的?

哲学么,说不清楚。

反正和数学完全不同

2007年10月28日

最新评论


  • luxin

    2007-10-29 15:36:55 匿名 124.17.17.56 [回复]

    我变成高级技工了……
    不敢认同


  • 2007-10-29 17:36:30 匿名 125.34.49.255 [回复]

    那你觉得数学是什么呢?说数学就是数学?那等于没说。你更喜欢说数学是知识体系吗?这难道不更是对数学的贬低吗?
    我以前也说过,数学可谓是上帝的语言,是一门崇高的艺术。如果你能接受数学的艺术性的话,那么你完全可以接受数学是技术的说法,因为技术本来就是艺术。
    数学在自然科学中的地位是什么?占据还原论顶端的其实是物理学,数学其实并不是还原的终点,而是在每一个环节都渗透其中的东西,数学是所有学科里最根本、最基础的方法性的东西,所谓方法亦即技术。无论说数学是“语言”也好,“艺术”也好,“方法”或“工具”也好,归根结底仍是技术。
    你不是高级技工,你是艺术家。
    艺术才是技术的最初和最高的形态。


  • 2007-10-29 18:22:15 匿名 125.34.49.255 [回复]

    luxin不妨再多回顾一下,我们究竟是怎么学奥数的?学奥数的人比起一般同学而言究竟多学了些什么?就基础知识而言,并没有多学任何东西,我们所运用的概念、定义以及常用的定理之类,一般同学往往也都知道,某些最难的竞赛题,就其每一步的解题步骤来看,或许也没有哪里是一般同学不能理解的,但我们做得出来,他们则毫无头绪,这是为什么?——因为我们一直都在进行奥数“训练”——怎么训练的?无非是看着老师出题、解题,回家自己做题,从头到尾都是由各种做题串成的——历史课之类的决不会这样上。
    看例题——做习题的训练,也就是“模仿——操练”的方式,这就是技术的训练过程。相信从你的经历也可以体会到,数学水平的提高靠的不是去增加了解、积累知识,而就是要靠操练,靠做题的。即便是对于那些知识点、公式定理之类,也是要我们通过反复的运用才可以“掌握”的,从而可以“运用自如”。而一般人即便“知道”这些定理,但是未经操练,便不能在做题事信手拈来、运用自如——这也就是技术训练中从“现成在手之物”到“应手之物”的转变。技术练到炉火纯青时,便仿佛成了内在于人的东西,不假思索便可运行自如。数学练到纯熟时,见到一道题目便可自动反应出巧妙的做法,这可能被一般人看作不可企及的灵感能力,但这实在也是锻炼出来的,除了天赋之外,剩下的就是通过训练而运用纯熟的技巧了——技巧就是运用技术的较高境界,所谓“熟能生巧”,我们做数学时经常说的解题“技巧”之类,也是技术的表现了。


  • 2007-10-29 18:28:39 匿名 125.34.49.255 [回复]

    还记得奥数课老师的上课方式吧?一般数学课或许还要经常强调一下知识要点啊、方法窍门啊。但奥数课老师上来就直截了当:出几个题,让我们做一会,然后他做给我们看(或者让同学上去做之类)。总之,就是解题和观看解题。
    这像是学习知识的样子吗?毋宁说和学习打乒乓、学习弹钢琴等更为相似吧?“演示——模仿——操练”。


  • 2007-10-29 20:19:00 匿名 125.34.49.255 [回复]

    学一种乐器时,比如说吹笛子吧。一开始训练的时候是一支曲子一支曲子练的,也就是说你在练熟了某一支曲子后,如果再碰上一支全新的曲子,你还是吹不好,要重头练。但是练到更高的境界时,对笛子的驾驭就越来越随心所欲了,这时候的吹笛高手哪怕是遇到从未吹过的曲子,也能够信手拈来,吹得很流畅纯熟。
    数学里头我们经常会提到一个“举一反三”,有些人就会觉得这种本领很神奇,很难理解,比如UNIC说“总感觉不同的题有不同的做法啊”,这恰如不同的曲子有不同的吹法,初学者只能一道题一道题练,进而逐渐可以一类题一类题练,最后练到纯熟时,才会觉得数学题都不过如此,即便是遇到一个崭新的概念或方法时,也能迅速掌握,运用自如。这里头并没有多少神秘的地方,就是熟能生巧而已。
    顺便说一下,我这里的说法显然有技术哲学和后期维特根斯坦的影子,话说维特根斯坦在思想转折期间当的是小学教师,虽然作为教师他似乎并不称职,但是在教学中的体会应该多少对其后期思想有所影响。在这里我们即便不讨论数学的本质,不做出“数学彻头彻尾就是技术”这样极端的结论,但是仅就中学数学的学习来看,这种学习方式更接近于学一门技术,这应该是很明显的。

关于 古雴

胡翌霖,清华大学科学史系助理教授。本站文章在未注明转载的情况下均为我的原创文章。原则上允许任何媒体引用和转载,但必须注明作者并标注出处(原文链接),详情参考版权说明。本站为非营利性个人网站,欢迎比特币打赏:1YiLinDDwvBLT19CTUsNHdiQhXBENwURb

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