对“突然演习悖论”的分析

对“突然演习悖论”的分析

摘要:
“突然演习悖论”又称“意外考试悖论”、“意外绞刑悖论”等,本文用非技术化的语言对此悖论及其改进和变种进行了简要的梳理和分析,重审了可能导致悖论的推理前提和步骤,并尝试提供理解此悖论的思路。

关键词:突然演习悖论 考试悖论 认知悖论 矛盾

缘起

所谓“突然演习问题”,是当时流传了几年的一个疑难问题。第二次世界大战期间,瑞典广播公司播出一则通告:

下周内将举行一次防空演习,为验证备战是否充分,事先并没有任何人知道这次演习的具体日子,因此,这是一次突然演习。

瑞典数学家爱克玻姆意识到这个通告有一种奇异性质:按通告所给条件,演习不能在下周日举行,因为那样演习就会被事先知道在周日发生,从而不是突然的;因此,周日被排除;同理,周六也可以被排除,既然演习已确定不能在周日举行,那么在余下的六天中,若在周六举行依然不具有突然性。循此继进,同样的推理程序可以此排除周五、周四直至周一。爱克玻姆由此推出,符合通告条件的突然演习是不可能发生的。

然而在第二周周三凌晨,空袭警报响起且演习“突然”举行……[①]

这一悖论有许多种不同的变体,如“绞刑悖论”、“考试悖论”等。蒯因、肖、蒙塔古、卡普兰等等逻辑学家已对之进行了深入的讨论和研究,蒙塔古和卡普兰指出,基于对此悖论以及相关的“指导者悖论”所据已推出的假定或我们所谓“背景知识要素”只高度合理性的认识,“它们可取得与说谎者悖论和理查德悖论相比的地位,并且能像它们那样导致重要的技术进步。”[②]

不过,那些逻辑学家们对这一难题的分析固然深刻,却往往带有过高的技术性,虽然这是为了论证严谨的必须,然而却难以为非专业人士把握,他们的分析揭示了此悖论之于逻辑学的重要意义,却未能展现它之于我们日常的思维方式而言究竟意味着什么。因此,笔者将以较直观的、并不十分技术化的语言对此悖论再进行一些梳理和分析——希望这些努力还是有意义的。

一、哪里出了问题?

既然出现了悖论,首先要做的,当然是反省整个推理的前提与过程。如果发现整个推理过程是不完善的,是在哪里出了毛病的话,那也就消解了悖论。

那么,爱克玻姆的推理有没有矛盾呢?

演习不能在下周日举行,因为那样演习就会被事先知道在周日发生,从而不是突然的;因此,周日被排除;同理,周六也可以被排除,……

鉴于使用六次“同理”之后,下周任何日子进行演习都被排除,导致悖论,自然地,许多人便会认为这个推理的“毛病”出在“同理”上头。但笔者认为,如果说这一推理有毛病的话,应是在第一步就出现了!

我们再来看看瑞典广播公司的那条公告:“下周内将举行一次防空演习,……事先并没有任何人知道这次演习的具体日子,……”

注意到,我们的推理有两个可用的前提:一是“下周内将举行一次防空演习”,二是“事先不知道”。

如果说在周六的时候,就能推出“演习不能在下周日举行”的话。那也请不要忽略了第一个前提——“下周内将举行一次防空演习”,根据这一条件,又由于前六天都没有发生演习,即可推理出“周日将举行防空演习”。于是,矛盾已经产生。也就是说,根据之前的思路,当前六天都没有防空演习的时候,我们将同时推理出周日将演习与周日不可能演习这一对矛盾。

换一种说法,在周六时,由于按照爱克玻姆的思路,我们能够“推理”出周日不可能演习,我们便可“认为”周日不会演习——于是,即便演习发生在周日,对爱克玻姆来说也将是“突然”的![③]

在周日前的任何一天都有类似的情形:例如在周四时,爱克玻姆所进行的推理可以是:

Φ:

(0) 今天是周四,前四天都没有举行演习。

(1) 公告说:本周将有一次防空演习。

(2) 公告说:在演习的前一天我不能推断出演习在第二天举行。

(3) (假设)公告将得到满足

(4) 根据(2)、(3),演习不可能发生在周日,否则(2)被违反,即周六时我能推断出第二天演习。

(5) 根据(2)、(3)及(4),演习不能发生在周六。

(6) 根据(2)至(5),演习不能发生在周五。

(7)
根据(4)、(5)、(1)及(0),即周六、周日不可能演习;周一到周四都没有演习;但本周必有一次演习;于是,演习将发生在周五。……(6)与(7)矛盾!

(8) (3)的假设是错的。[④]

(9) 但……比如到了星期五,演习突然举行了,而之前我确实没有推断出它的举行,所以(3)并没有错。……(8)、(9)矛盾!

(10) ……还有哪条前提是错的?

那么,造成矛盾的原因究竟在于公告本身还是在于推理的过程呢?如果是在于推理的过程,那么究竟是在第一步的(4)?还是在(5)、(6)的递推?还是在(7)的推理,也就是说得不出(6)、(7)矛盾,从而得不出(8)?又或者是(9)错了,从而(3)确实不被满足?或者到(9)的推理都没有错误,而是在之前还暗藏着某一条应该被归谬的前提?

在展开进一步的讨论前,有必要对原问题中的各项概念进行明确。

二、重述和改进

首先,突然演习悖论的“一个比较次要的弱点”是,演习可能根本不会举行。“为了弥补这个弱点,迈克尔·斯克里文采用了鸡蛋实验的形式重新表述了这个悖论,他的分析发表在1951年的英国杂志《心灵》上:你面前有一排盒子,共十个,分别编好为1号至10号。你转过身去,你的朋友把一个鸡蛋藏进其中一个盒子里。鸡蛋一定在某个盒子里,这是毫无疑问的。你的朋友说:‘依次打开盒子,我保证,你将在某个盒子里意外地发现鸡蛋。’”[⑤]

笔者认为,“意料之外的鸡蛋悖论”相比“突然演习悖论”并无实质性改进,在鸡蛋悖论中,可以确定的是:当打开了前9个盒子时,我可以断定鸡蛋必在最后一个盒子内,所以若我的朋友把鸡蛋放在了最后一个盒子里,他在任何意义上都将必败无疑。但类似地,在突然演习悖论中,若过了整一周都没有举行演习,则可以断定这一周没有举行过空袭,从而公告的第一条未被执行,因此,如果公告者并不举行演习,那他在任何意义上也都将必败无疑。但问题在于,在我们知道公告者在知道如果不安排演习将必败无疑的情况下,是否足以认定公告者不会把演习安排在最后一天?而在鸡蛋悖论中,问题则是,在我知道我的朋友知道如果把鸡蛋放在最后一个盒子里则将必败无疑的情况下,是否足以认定他不会把鸡蛋放在倒数第二个盒子里?也就是说,鸡蛋悖论的“改进”只是把出现的问题“缓”了一点,即把“演习没有在任一天举行”的情形对应成了“鸡蛋在最后一个盒子”的情形,把“演习在最后一天举行”的情形对应成了“鸡蛋在倒数第二个盒子”的情形……如此错开一位来看,两个悖论还是完全等价的!

考察推理Φ,迈克尔·斯克里文的改进在于可以去除(1)中的“公告说”这一附加前提,使“本周将有一次防空演习”可以独立于公告而客观地为真,但(2)前的附言终不能被取消,从而(1)、(2)、(3)三条前提作为整体而言并没有任何变化。

其次,就是“突然”、“意外”这些词语,显然是含糊不清的。例如,如果说的是心理上的突然或意外,比方说掷骰子掷出个6点,算是令人“意外”吗?对许多人而言,这可算不得“意外”,因为掷骰子掷出任何一点都是可能的。同样地,人们如果认识到:明天演习或者不演习都是可能的,那么无论演习在哪天举行,都不算令人意外的,公告总将失败。

不过,只需用更精确的表述替换“突然”、“意外”等词。便能保证该悖论的“货真价实”。

事实上,在上文陈述“推理Φ”时,就已经对该悖论的表述有所明确了,所谓“突然”,指的是
“逻辑上不能推理出P或者非P”,或者指“逻辑上推理出应是P而事实却是非P”。后一条陈述相对更强,例如掷骰子掷出6在前一种意义上是“意外”,而在后一种意义上还算不上,但这两种表述都是较为严格的。究竟在突然演习悖论中更适用的是哪种意义,留待后文再叙。

下面先看参考了蒙塔古和卡普兰的研究的一个严格表述:[⑥]

公告:“除非你知道此的公告为假,否则,演习在下周的某一天举行而且在演习举行的前一天你不知道‘基于本公告’‘演习在明天举行’为真(或是说你不能在演习的前一天从本公告推出第二天举行演习)”

该公告可以简化至只剩一天的情形:

公告:“除非你知道此公告为假,否则演习将在明天进行而且你现在不能从本公告推理出演习将在明天举行。”

这个公告类似于张三说:“我告诉你——我叫张三;噢,你还是不知道我叫什么名字”,稍后笔者还会回来对此进行分析。

之前的简化甚至可以再做下去,使可能举行演习的日期成为空集,即:

公告:“除非你知道此的公告为假,否则,演习将在一个不可能的日子举行而且……”这相当于“你知道此公告为假,或者,恒假式成立。”,即“你知道这句话是错的。”

这也就是所谓“知道者悖论”的一个变体,以上的简化揭示了“突然演习悖论”与“知道者悖论”,的深刻关联。张建军指出:“所有能处理知道者悖论的方案均可处理意外考试悖论,但反之不然。”

关于知道者悖论的研究有很多,在1962年,蒙塔古已澄清了“说谎者悖论与知道者悖论之间的严格关联”[⑦]随后,人们又对“相信”等其他命题态度构建了多种悖论,此处不再赘述。

正如张建军所说,若知道者悖论被解决,应能为“突然演习悖论”等一系列相关悖论提供解决方案。但反过来说,或许也可以绕过“知道者”悖论,找出化解“突然演习悖论”的方法来。在下文,笔者就试图为寻找直接处理“突然演习悖论”的思路进行尝试。

三,对推理的重审

在简略地梳理了问题与概念之后,回过头来再看“推理Φ”,让我们对之逐行进行检查:

(0)、(1)、(2) ——都是客观事实,应无疑问。

(3)——是假设,一般无需怀疑。不过,并不是胡乱的“假设”都是合理的,例如

1)以上的推理超过两句话。 ——假设

2)以上的推理只有一句话。 ——客观事实

3)1、2矛盾,故假设不成立。

4)以上的推理不超过两句话。 ——归谬法

以上的推理显然是荒唐的!问题在于“以上的推理”所指称的对象在不停地变化,第二行出现的“以上的推理”与第一行的已是不同的东西。合理的“假设”所指称的东西显然应是不会随着推理的进行不停地变化的。好在,看来(3)中涉及的“公告”并不是易变的,因为之前已经对公告的表述较为严格地重述了,现在怀疑的矛头指向的是推理的过程,因此我们可以暂时认为公告已经是明确的了,从而放过对(3)的怀疑。

(4)——这第一步是最值得怀疑的,假设在度过了前六天仍未见演习的情况下确实能够推断出周日必然演习(先不论是如何推断的),那么公告者若将演习安排在周日则是必败无疑了。然而,在同时,公告者若不将演习安排在周日,也将因违反(1)而必败无疑!也就是说,公告者在只剩一天的时候,无论选择举行演习还是不举行演习都将违反公告!

但是,此时我还有什么理由“能够推断出周日必然演习”呢?因为此时对公告者来说,横竖都是失败,举行演习与不举行演习都将失败。那么即便说我们假定公告者一定会“尽全力”保证预言成功,但当两种选择都是失败时,我有何理由“推断”出公告者必定选择此种而不是彼种失败呢?看来,我还是不能确定公告者的选择,这和我们的假设(在度过了前六天仍未见演习的情况下确实能够推断出周日必然演习)矛盾!

于是,最直接的结论就是:假设不成立,也就是说,即便是度过了平静的六天,我仍没有推断出周日必然演习的方法!

注意到以上的归谬推理是从假设“我能够推断他的安排”,导致“我不能够推断他的安排”,所以假设错误——这是直接而简明的;可以与下述归谬相对比:从“我能够推断出他做了如此安排”,导致“我能够推断出他没有做如此安排”,所以假设错误,即我无法推断。后一种归谬虽然在直观上也显然成立,但“若能推断出P则能推断出非P,故不能推断”尚嫌不够直接,而以上所用的归谬法:“若P则非P,故非P”是无可怀疑的。

不过,在得到以上归谬的过程中,还是用到了一个不够直接的推理——“他面临的是同样失败两难选择,所以我无法确定他的选择,也就是无法推断出他会做某一选择”,不过这一推理十分直观——相比诸如在此悖论中运用到的诸如“我知道他知道我能推断他一定会……,所以……”[⑧]的那些层层嵌套的推理简直有天壤之别。

鉴于此,认定“即便是度过了平静的六天,仍没有推断出周日必然演习的方法”这一结论是合理的!于是,我们可以将质疑的焦点集中到(4)上了,看看究竟是什么使得(4)看起来“仿佛合理”?

这步推理的要点在于,通过形如“我不能推断出……”的前提推断出某结论。或许对理解此类推理有所启发,也或许只是绕了点弯路,下面我们转而考察“突然演习悖论”的另一变种。

四、悖论的变种和其它问题

比较下面两个问题:

1、一道数学趣题:

甲、乙、丙三位同学站成一列,甲在最前。他们每人都戴着一顶帽子,而站在靠后的人只能看到前面几人的帽子,而看不到自己的以及身后人的帽子。已知:他们所戴的三顶帽子是从两顶红帽子、一顶黑帽子、一顶白帽子之中拿出来的。老师先问排在最后的丙说:“你自己的帽子是什么颜色的?”丙答道:“不知道。”老师接着问乙是否知道自己帽子的颜色,乙也说“不知道”。最后老师问甲,甲却说“我知道!”请问甲是怎样知道自己帽子的颜色的?

这不是什么悖论,而是一道有正确答案的数学题。甲的帽子一定是红色的。[⑨]

这道问题可以改写成如下形式,或许能为下面即将讨论的悖论给些启发:

甲、乙两人分别从1、2、3、4四个帽子中摸走一个,甲选了2,乙选了3。丙对甲、乙两人说:“我下面的这句论断是对的吧——你们都不能推测出谁的号码大!”两人齐声回答:“是啊。”随即又齐声回答:“不是!”这里的甲、乙的推理思路是很清楚的:甲会想,既然乙不能推断谁的大,那么它选的就不会是1号或4号,而我选走了2号,所以乙一定是3号。……问题是,丙的论断究竟是对还是不对呢?当丙不将论断告诉甲、乙之前,该论断是对的,但一旦告诉了甲、乙,便不对了!

2、“突然演习悖论”的又一变种(即霍利斯悖论)[⑩]

火车上的两个人甲和乙各自选一个数,然后通过耳语告诉丙。丙起身宣布:“我到站了,你们两个告诉我的是两个不同的正整数,你们中的任何一个都无法推出谁选的数大。”然后丙下车了。

甲和乙在沉默中继续旅程:甲的选数是157,他想:“显然乙选的不是1,如果他选的是1,他就会知道我选的数比他大,因为丙刚说过我们两个选的数不同。同样明显的是,乙也知道我没有选1,没错,1可以排除。我们两个都不会选,最小的有可能的数是2,但是如果乙选的是2,他应当知道我选的不是2,于是2也被排除……”

如果他的旅途足够长,他可以排除每一个数。

用以上那道数学题得到的启示——或许丙的论断原先确实是对的,但当他把该论断告诉甲、乙后,由于该论断本身成为了甲,乙两人进行推理的新信息,情况发生了变化!

在之前的数学题中,新信息的加入使得局面立刻变得明朗,当然,完全也可以设计出一些更复杂的数学难题,例如需要连续宣称多次:“你们没有人能推测出来”——“你们还是没有人能推测出来”……“你们仍旧没有人推测出来”——“唔!有人推测出来了!”

每一次宣称“你们没有人能推测出”,都是加入了一条新信息,有可能直到加入了这样N条“重复的”信息后,局面才变得明朗——这类数学题也有不少,不赘述。

也就是说,这些加入的新信息的效力是“一次性”的,只能用来做一轮的推理,即用来对此信息被公布之前的情形的分析,而在人们由此展开分析的同时,局面已有所改变。

在霍利斯悖论中,问题是否也是如此呢?甲基于丙所给予的信息,确实有权推测出乙选的不是1,然而在后续的推理中继续运用丙的这条断言是否还是合法的呢?

不过,霍利斯悖论的情形并不那么简单,如果说丙所给出的宣告是“你们‘永远’都推测不出谁的数大”,那又如何呢?也就是说,这要求丙把其宣称说得更严格些——即A=“不仅你们现在无法推测出谁的数大;而且即便你们知道了‘此信息’,仍然推测不出谁的数大!”

但是,以上的这种宣称方式仍是不太清楚的。问题在于,“此信息”指什么?——如果指的仅仅是前半句话X,即“你们现在无法推测出谁的数大”,那么,由于我们认为丙所提供的整条信息A,它的效用总是“一次性”的,因为将A告知甲、乙的同时局面发生了变化。但在这里A中包含了一个“嵌套”,于是它相当于可以“用两次”。也就是类似于说“你们没有人能推测出来”——“你们还是没有人能推测出来”。以此条件,甲确实有权将乙不可能选的数推算到2!但是,如果丙所给的信息只包含有一层“嵌套”的话,那么甲籍此展开的推理也只能到2为止了!如果说要使得甲有权凭籍丙所给的条件无止境地推理下去的话,则要求丙的信息包含无限的“嵌套”,也就是说,在A中的“此信息”要求指称A本身!

3、数学趣题与霍利斯悖论的组合:

然而,将霍利斯悖论与之前的数学题相结合,即可改造成不需要无限“嵌套”的表述:

甲、乙两人从1到8的八个号码中分别摸出一个,两人只能看到自己手中的号码,甲的号码是3,乙的是5。丙问他们:“谁的号码更大?”两人齐声答道:“不知道!”过了一会,丙又问道:“谁的号码更大?”,两人还是齐声答道:“不知道!”不过此刻,甲已经知道了答案。

因为根据正确的推理完全可以预期出甲乙两人的回答,可以把由丙提问由甲乙齐声回答的模式改成直接由丙下断言。那么,情形就是——丙对两人说:“你们都不知道谁的号码更大!”……“听了我刚才的话后,你们还是不知道谁的号码更大!”

在此时,甲就已经知道是乙的号码更大了。如果此时是有个丁对戊说:“甲和乙还是不知道谁的号码大!”那么戊便会认为丁说错了,明明甲已经得到了正确的判断。然而,如果此时仍然是丙对甲、乙说:“听了我刚才的两句话后,你们还是不知道谁的号码大!”那此时甲恐怕要犯迷糊了——“明明我已经根据前两句话推测出了我的号码比乙小,怎么又说我不知道了呢?如果丙的第三句话是对的,那么前两句话就有错;如果前两句话没错,那么第三句话就是错的;但是我却无法判断它的哪句话是错的,所以……我将被迫承认丙的三句话都是对的?!因为我没有办法判断它的哪一句话是错的,从而确实从来没有真正知道谁的更大……”

正当甲犯着迷糊时,乙的推理仍然正常地继续着,在丙的三次断言下,乙已经依次把甲是1、8、2、7、3、6排除了,由于乙手上的是4,所以乙推测出甲手中的是5。不幸的是,他的推理是错误的。

接着,丙说了第四句话:“听了我刚才的三句话后,你们还是没有人知道谁的号码大!”对于此时已晕头转向的甲与已下了错误判断的乙而言,丙的第四句话确实是正确的,乙也开始迷糊起来……

五、回到“突然演习悖论”:

以上的甲、乙两人的推理为何会陷入混乱呢?原因在于丙给出了多余的信息,而甲、乙却不能确定究竟丙有没有、在什么时候开始给出的信息是多余的。

在突然演习悖论中,公告所给出的是形如“你不能事先推断出……”应用包含这条信息的公告,我们可以推断出“周日不可能演习”、“周六不可能演习”等等。与前文的甲相似,我们的推理在前若干步时是正确的,但是不知道究竟从哪一步开始“你不能事先推断出……”这条信息成为多余,以至于之后的推理全部陷入混乱。

回到早前提到的问题所谓“突然”,指的究竟是
“不能推理出P或者非P”,还是“推理出应是P而事实却是非P”。前文提到:后一条陈述相对更强,例如掷骰子掷出6在前一种意义上是“意外”,而在后一种意义上还算不上。

但在这里它们的强弱关系似乎颠倒过来,事实上,甲在运用丙的前两条信息后已经得到了乙的号码更大这一正确结论,只是随后又否定了它。在突然演习悖论的“推理Φ”中我们看到——这里先放过(4)——如果跳过(6)不看,(7)已经得到了“周五演习”的结论,而(6)得到了相反的结论。因此,这里不是“不能推理出P或者非P”,而是“既推理出了P又推理出了非P”。也就是说,在本周的每一天,我们都可以“推理”出“明天将会演习”,只是随后的推理又得到了反面的结论。

这里的问题是:是“矛盾推出一切”还是“矛盾什么都推不出”?当我们在推断出P的同时又将该推断否定的时候,还算不算“推断出P”了?如果仍算,那么公告事实上不能被满足!因为基于此公告,我们在每一天都可以“推断出明天演习”,所以无论演习在哪天举行,都是已被推断出的事情。而如果说在推断出P的同时又将该推断否定导致的是不能够推断出P的结论,那么在“推理Φ”中,虽然(4)推断出了周日不能演习的结论,但结合(5)、(6)的进一步推断,连立(0)、(1)、(5)、(6)——即“演习将在周五、周六或周日的某天举行;演习不在周六举行;演习不在周五举行。”——又可以得到(4’):“演习在周日举行”,从而否定了(4)的推断,按刚才所说,应该认为不能够推断出(4)。

如果将“突然”应被理解为“推理出应是P而事实却是非P。”,同样要看对“矛盾推出什么”的理解。若当我们在推断出P的同时又将该推断否定的时候,仍算“推断出P”,则在每一天,我们都可以基于此公告推断出明天不演习,从而演习在任何一天举行都是“突然”的(同样地,其实我们在每一天也都能推断出明天演习,所以任何一个平静的日子也是“突然”)。而如果认为在推断出P的同时又能将该推断否定导致的结论是不能够推断出P,那么公告事实上又是不能满足的,因为在任何一天,我们都既不能推断出“明天演习”,也不能推断出“明天不演习”,正如我们推断不出掷骰子会掷出几点,但会认为无论掷出几点都不算“突然”,无论演习被安排在哪一天也都不算意外的。

综上,对“突然”和“矛盾推出什么”的不同理解与公告能否被满足的关系如下:

P∧﹁P则仍然├ P
P∧﹁P则导致“并非├ P
突然=不能推理出P或者非P
公告不能满足
公告被满足
突然=推理出应是P而事实却是非P
公告被满足
公告不能满足


而在日常的推理中,这两层区分往往被搅在一起,这才导致了推理陷入混乱。

参考书目

张建军:《逻辑悖论研究引论》,南京大学出版社2002年

[美]威廉姆·庞德斯通:《推理的迷宫——悖论、谜题,及知识的脆弱性》,李大强译,北京理工大学出版社2005年

[美]马丁·加德纳:《意料之外的绞刑——和其他数学娱乐》,胡乐士译,齐民友校,上海教育出版社2003年


[①]以上参考张建军:《逻辑悖论研究引论》,南京大学出版社2002年,第193~194页

[②]同上,第207页

[③]注意到这里“突然”的概念十分模糊,在下节笔者会对此进行更确切的阐述

[④]这段推演已被笔者重写,按照爱克玻姆的推演,第(7)条应当是:“根据(4)、(5)、(6)、(0),推出没有一天可能演习,从而与(1)矛盾。”而笔者将(6)与(1)的位置对调!此调整的意义在后文会有所明确。

[⑤] [美]威廉姆·庞德斯通:《推理的迷宫》,李大强译,北京理工大学出版社2005年,第131页

[⑥]参考张建军:《逻辑悖论研究引论》,南京大学出版社2002年,第206页

[⑦]张建军:《逻辑悖论研究引论》,南京大学出版社2002年,第208页

[⑧]例如:甲知道乙一定会尽力保证预言成功,所以甲知道乙不会不安排演习,而因为乙知道“甲知道乙不会不安排演习”,所以乙知道如果安排在周日将被甲提前知道,所以因为甲知道“乙知道如果安排在周日将被甲提前知道”,所以甲知道乙不会把演习安排在周日……前述的归谬法显然远比这些推理显明。

[⑨]推理十分简单:因为如果甲、乙的帽子是一黑一白,则丙就能知道自己戴的帽子只能是红色的,因此,甲、乙中至少有一人戴红帽子——乙听到丙的回答后便能知道这一点,但是乙还是不知道自己帽子的颜色,也就是说甲的帽子不可能是黑或白的,因为若如此,乙便能知道自己的帽子一定是红色的了。因此,在听完乙、丙两人的回答后,甲就知道自己的帽子一定是红色的了!

[⑩]参考[美]威廉姆•庞德斯通:《推理的迷宫》,李大强译,北京理工大学出版社2005年,第132页

最新评论

  • apostar2007-12-19 20:39:15 匿名 222.205.106.237

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_50154f7901007m32.html
    这里有个答案可能更好。

  • 古2007-12-19 22:10:56 匿名 125.34.50.182

    你有没有看完我的文章呢?虽然我对这篇文章很是惭愧,但是我相信在利用日常语言的基础上我还是做了比较多的思考的,这个悖论并不想炸看起来那么简单。
    那位朋友的思考确实很不错,但是似乎并没有解决悖论,我也没有。解决悖论决不是那么容易的。

  • 古2007-12-20 09:54:58 匿名 123.112.82.142

    忘记说了,后来我还真找到一个彻底解决悖论(包括这个悖论以及罗素悖伦等等)的方法,那就是“直觉主义”。直觉主义数学由于彻底将“实无穷”驱逐,真正一劳永逸地解决了各种逻辑悖论。尽管直觉主义付出的“代价”太高,但是这些代价并非是专门为了克服悖论而付出的,而是完全基于哲学上的考虑。除了投靠直觉主义,要想不付出什么代价,又能一劳永逸地解决悖论,我看是不太可能的。


  • Allen

    2008-05-21 18:47:17 匿名 218.19.175.248

    不错,比一楼的好多了

  • igeli2008-11-21 17:09:40

    有些悖论的产生,是利用了人们日常语言中极不易被人察觉的漏洞做掩蔽的。比如对加强版的鸡蛋问题,符合一般人都能理解的推理情况下,乙的论题:“你可以将盒子依编号依次打开,我敢说你在看到鸡蛋之前是不可能推测出鸡蛋在哪个盒子里的!”是错误的。
    这是因为,如果我打开了9个盒子而没有发现鸡蛋,那我在看到这个鸡蛋之前,可以肯定它就在第10个盒子里。
    乙说的是一种日常语言,其逻辑漏洞在我们生活中习以为常而被广泛使用的。
    把乙的说法改一下:“你可以将盒子依次打开,我敢说你可能最多要打开9个才可能推测出鸡蛋在哪个盒子里的!”
    这一次,乙的命题是严密的了。
    那个演习的实质也与此类似,这一类问题我叫它为有边界问题。
    有边界问题需要边界限制才完整。
    比如:我想出一个1-100之内的自然数,你没有说出这个数之前是猜不出来的—这个命题是错误的。
    但:我想出一个自然数,你没有说出这个数之前是猜不出来的—-命题正确,这是一个无边界问题。
    这里地方太小,只能写这些。
    附加一句:这类逻辑判断尽量不要使用那些运算符号和公式—普通人看不太懂,而且,说不定会算出错误的结果。

  • 古雴2008-11-21 18:06:39

    悖论的产生往往是因为语言的漏洞,这种说法是没错的。不过楼上似乎没有把握到这个悖论之所以为悖论的趣味之处。当然我对关于类似悖论的其它讨论没什么兴趣了,除非你直接针对我的文章提意见~
    话说我的这篇文章的最大特色不就是几乎不使用那些运算符号和公式嘛!出现符号的也就是最后那张表格吧?那是因为节约空间(否则A4纸一行排不下)才加上的,而且这张表格的内容在前文中已经用文字表述过了。

关于 古雴

胡翌霖,清华大学科学史系助理教授。本站文章在未注明转载的情况下均为我的原创文章。原则上允许任何媒体引用和转载,但必须注明作者并标注出处(原文链接),详情参考版权说明。本站为非营利性个人网站,欢迎比特币打赏:1YiLinDDwvBLT19CTUsNHdiQhXBENwURb

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