对“突然演习悖论”的初浅分析

对“突然演习悖论”的初浅分析
星定 发表于 2006-05-21 20:45:48

不知道按这个思路写下去有没有前途……反正这个主题或者做暑期课“悖论研究”的作业、或者做现在的“逻辑哲学”的作业~ 不过要把这个文字写成象样的论文总还是要费点功夫……

对“突然演习悖论”的初浅分析,(续)
星定 发表于 2006-05-25 17:24:18

但是无论如何我还是并没有真的消解了这个悖论。其实我所分析到的程度蒯因应该早就分析到了。如果这个问题从主体角度出发,再增加一个条件,例如:“我知道他从不说谎”,或者“我确信公告不会被违反”。那么悖论就重新产生。

对“突然演习悖论”的初浅分析,(续2)
星定 发表于 2006-05-27 01:01:32

最近不断地在自我反驳和重新思考,做梦都不太平,研究悖论实在是比较痛苦……
下面先做一点补充,然后我把矛头转向霍利斯悖论,对据说是突然演习悖论的新变种的霍利斯悖论提供了一套说法,至少是将它与说谎者悖论和集合论悖论的问题联系在了一起(即包含“自指”),可能是相较之前的文章开辟了一条新思路。

对“突然演习悖论”的初浅分析,(续3)
星定 发表于 2006-05-29 16:52:26

感觉思考悖论是一个打击自信心的好办法,因为会不断地想到感觉不错的解答,但又很快被我自己反驳掉了。

————————————————————————————

根据doc重新整体贴出这个初浅分析版本

————————————————————————————

对“突然演习悖论”的初浅分析

认知悖论研究起源于1948年英国学者奥康纳发表的有关“突然演习问题”的论文。

所谓“突然演习问题”,是当时流传了几年的一个疑难问题。第二次世界大战期间,瑞典广播公司播出一则通告:

下周内将举行一次防空演习,为验证备战是否充分,事先并没有任何人知道这次演习的具体日子,因此,这是一次突然演习。

瑞典数学家爱克玻姆意识到这个通告有一种奇异性质:按通告所给条件,演习不能在下周日举行,因为那样演习就会被事先知道在周日发生,从而不是突然的;因此,周日被排除;同理,周六也可以被排除,既然演习已确定不能在周日举行,那么在余下的六天中,若在周六举行依然不具有突然性。循此继进,同样的推理程序可以此排除周五、周四直至周一。爱克玻姆由此推出,符合通告条件的突然演习是不可能发生的。

然而在第二周周三凌晨,空袭警报响起且演习“突然”举行……(以上参考张建军:《逻辑悖论研究引论》,第193~194页)

这一悖论有许多种不同的变体,如“绞刑悖论”、“考试悖论”等。蒯因、肖、蒙塔古、卡普兰等等逻辑学家已对之进行了深入的研究,张建军在其《逻辑悖论研究引论》中也有相关的详细论述。他们的意见是很精辟的,在对此悖论的研究过程中也取得了许多深刻的进展和启示,

那么,我再来分析这一悖论,又有什么意义呢?我觉得还是有的——那些逻辑学家们对这一难题的分析固然深刻,却往往带有过高的技术性,虽然这是为了论证严谨的必须,然而却难以为普通大众把握,他们的分析揭示了此悖论之于逻辑学的重要意义,却未能展现它之于我们日常的思维方式而言究竟意味着什么。

因此,出于并非专业的视角,我以我个人的视角对此悖论再进行一些初浅的分析——我希望这些努力还是有意义的。

当然,我的分析依旧要借助形式逻辑的工具,特别是模态逻辑基础之上的“知道逻辑”,在引入“知道逻辑”之前,我先以直观的思维对该悖论中涉及的推理进行重审:

既然出现了悖论,首先要做的,当然是反省整个推理过程。如果发现整个推理过程是不完善的,是在哪里出了毛病的话,那也就消解了悖论。

那么,爱克玻姆的推理有没有矛盾呢?

演习不能在下周日举行,因为那样演习就会被事先知道在周日发生,从而不是突然的;因此,周日被排除;同理,周六也可以被排除,……

鉴于使用六次“同理”之后,下周任何日子进行演习都被排除,导致悖论,自然地,许多人便会认为这个推理的“毛病”出在“同理”上头。但我不这么看。

我认为,如果说这一推理有毛病的话,应是在第一步就出现了!或者说,这一悖论在推理的第一步就已产生了!

我们再来看看瑞典广播公司的那条公告:“下周内将举行一次防空演习,……事先并没有任何人知道这次演习的具体日子,……

注意到,我们的推理有两个可用的前提:一是“下周内将举行一次防空演习”,二是“事先不知道”。

如果说在周六的时候,就能推出“演习不能在下周日举行”的话。那也请不要忽略了第一个前提——“下周内将举行一次防空演习”,根据这一条件,又由于前六天都没有发生演习,即可推理出“周日将举行防空演习”。于是,矛盾已经产生。也就是说,根据之前的思路,当前六天都没有防空演习的时候,我们将同时推理出周日将演习与周日不可能演习这一对矛盾。

换一种说法,在周六时,由于按照爱克玻姆的思路,我们能够“推理”出周日不可能演习,我们便可“认为”周日不会演习——于是,即便演习发生在周日,对爱克玻姆来说也将是“突然”的!

再回过头来看“周日不会演习”的结论是如何推理出来的吧:

事实上,前文已经提到“爱克玻姆由此推出,符合通告条件的突然演习是不可能发生的。”——如果说这一推理是正确的,那也并没有论证出“不符合通告条件的突然演习不可能发生”!也就是说,在周六时,即便可能说“周日不可能进行符合通告条件的演习”,也不能断定“不符合通告条件的演习”不会发生。这意味着,在周六时,周日究竟会不会进行演习对我们来说仍然是不确定的!

分析到这里似乎已经有些乱了。不过不要紧,既然我们已经知道在推理的第一步就可能有某种“毛病”,接下来,不妨将焦点集中到这一步上来。

让我们对原悖论进行简化——不同于一般的逻辑学研究时将“一周”简化为“三天”,我从“一周”仅提取“一天”:

假设目前已到周六,而且前六天都没有进行演习,那么广播公司给出条件之一“下周内将举行一次防空演习”就变成了A=“明天将举行防空演习”;而条件之二“事先不知道”也就是B=“(我们)不知道明天举行防空演习”!而问题是,A、B是否矛盾?

如果说A、B导致矛盾,那正如爱克玻姆所称的,广播公司的公告是不合理的;然而另一方面,演习确确实实可以在不违反公告的情况下举行,这便形成了悖论。但是,A、B是否真的相矛盾呢?

在这里,我们引入模态逻辑来协助理解这一问题。

我们以最基本的模态逻辑正规系统K为基础即在一阶命题逻辑的基础上增加算子“□”,以及公理和必然化规则:├α则├α。再据定义引入“∧”、“∨”、“◇”等算子,此处不赘述。

总之,将“□”理解为“知道”而不是“必然”,便是广义模态逻辑的应用。(参考何向东等:《广义模态逻辑及其运用》,第87页以下;一般来说“知道逻辑”用符号K代替□,此处仍用□,这也是鉴于我在随后的讨论中并没有十分清晰地区分“知道”和“相信”)

很容易地将条件A、B翻译为这种逻辑语言——用命题p表示“明天举行防空演习”,则“(我们)不知道明天举行防空演习”就是┐□p。

问题一目了然:p∧┐□p能推出矛盾吗?显然是不能的,因p→□p并不成立!

p∧┐□p能推出的至多是◇p而已,无论在“知道逻辑”中将◇理解为什么,总之仍然是不确定的状态。即便在K的某些扩张系统下——即便是考虑最“大”的但尚不至于坍塌的系统“S5”中,我们可以进一步推出“□◇p”,但也无济于事——事实上,在周一到周六的每一天我们都是“知道明天可能演习”,但如果真的恰在那一天演习的话,对我们而言仍然是“突然”的,在最后一天仍是一样的。

也就是说,经过这样简单的“翻译”之后,悖论似乎消失了!

剩下的问题只是:用这种广义模态逻辑的语言对突然演习问题的“翻译”是否是完全恰当的?于是,下面便把这一逻辑语言中的推理规则再翻译回直观的语言,看看它们究竟意味着什么。

首先看规则:“├α则├□α”。这可以理解为:当我们能够无需前提,只根据我们自己所认可的那些公理,就推论出某结论时,则我们“知道”它——这是较容易理解的。但是说“β├α则β├□α”在模态逻辑的语言下却是错误的,这在日常语言中意味着什么呢?也就是说,逻辑语言中的“前提”意味着什么。

参考“突然演习悖论”,似乎就可以把“前提”理解为那些由他人给出的声明和公告。“知道”是与“主体”密不可分的,只有当某结论完全是基于那些属于主体自己的、已被主体自己认可的知识与信条(公理)推理而得时,我们才算是“知道”了它。而任何一个断言(命题或公式),无论是作为他人给出的声明、断言(前提),如果不能被主体吸纳为自己的认知或信条的话,就不能说“知道”它。

不过,一般而言,作为推理“前提”往往也是可靠的客观事实,例如在“突然演习悖论”中,我们也可以把广播公司的公告视为可靠的事实,或者再举一个明确些的例子:“人都会死,苏格拉底是人├ 苏格拉底会死”——在这一推理中,我们“知道”的是什么呢?

按照我们建立的“知道逻辑”,从“人都会死,苏格拉底是人├ 苏格拉底会死”这一推理中,我们仍不能说我们“知道苏格拉底会死”,那么,我们“知道”的是什么呢?

其实这并不难理解——如果我们并不知道人都会死或者不知道苏格拉底是人的话,我们确实并不知道“苏格拉底会死”,我们所“知道”的其实只是“如果人都会死并且苏格拉底是人,则苏格拉底会死”。如果要说我们“知道苏格拉底会死”的话,则要求我们已经“知道人都会死并且苏格拉底是人”。那么,我们是否“知道”“人都会死”呢?休谟早已指出,对这类断言并没有在逻辑上完全严格的论证了!

休谟的难题早已揭示了严格的逻辑论证的力量是有限的。当然,我们仍有可能“知道”“人都会死”,那需要我们将某些无法严格论证的事情吸纳入我们自己的“信条”,即作为不需再证明的“公理”来使用。

倘若广播公司的公告是“你知道下周内将举行一次防空演习,但你事先并不知道这次演习的具体日子,”,那无疑是矛盾的。但那样的话,毛病就出在该公告本身了(好在广播公司并没有那么说)。因为“知道”是与主体密不可分的,任何人都是没有资格断言他人“知道”某事的。只有当爱克玻姆竟然将“下周内将举行一次防空演习”的公告当作确信不疑的信条,当作自己逻辑体系的公理来使用时,“悖论”才会产生,然而并没有什么人(即使有人想,也没有资格)规定了爱克玻姆必须对广播公司的公告笃信不二。如果爱克玻姆在事后说“我知道上周举行过一次演习”,或者说的是“我知道‘公告上说’下周将举行一次演习”,那似乎都是较合理的,但听到了公告就宣称“我知道下周将举行一次演习”则是过于轻率了。而且,如果假设“我知道下周将举行一次演习”为真,则根据公告的第二条,经逻辑推演可以得出矛盾,于是合理的选择应该是反省前提——要么是“我知道下周将举行一次演习”要么是公告,总有一个前提是错的,如果说即便认定公告是错的也还在坚持“我知道下周将举行一次演习”是真的,那这就不再是什么悖论的问题了,而是固执的问题了……总而言之,造成“悖论”并不是公告的错。

最后补充解释一个问题:既然说广播公司的公告中无权宣称听者“知道p”,那么为何又可以宣称听者“不知道p”呢?事实上,在通常情况下也是没有权力断言他人“不知道”什么的,所谓的“子非我焉知我不知鱼之乐”并不是全无道理。然而,有些情况下是可以做出“你不知道某事”的论断的——例如当该事的控制权掌握在我的手中时。这里需要预先假定“自由意志”的存在,如果我们承认“自由意志”,那么,当在决定在哪天举行演习的权力完全在我方时,便有资格说别人“不知道哪天举行演习”了!

2006521

2006522


 

但是无论如何我还是并没有真的消解了这个悖论。其实我所分析到的程度蒯因应该早就分析到了。如果这个问题从主体角度出发,再增加一个条件,例如:“我知道他从不说谎”,或者“我确信公告不会被违反”。那么悖论就重新产生。

为了更充分地展示此悖论的尖锐,下面我改用此悖论的另一个变体来分析——“意料之外的鸡蛋”(来自史克利文,参考《意料之外的绞刑》,第4~5页)

10个空盒,编号从110,在甲背过身时,乙把一个鸡蛋放在了某个盒子里,并对甲说:“你可以将盒子依编号依次打开,我敢说你在看到鸡蛋之前是不可能推测出鸡蛋在哪个盒子里的!”

于是,甲可以推理说:假如乙的预言是对的,那么如果鸡蛋在10号盒子里,那么当我打开第9号盒子时,由于之前全是空盒子,便可以断定鸡蛋在10号盒子中,因此鸡蛋不可能在10号盒子里。同样地,如果鸡蛋在9号盒子里,那么当我打开了8个空盒子时,又由于鸡蛋不可能在10号盒子里,便能断定鸡蛋在9号盒子里了,因此鸡蛋不在9号盒子里……依此类推,最终鸡蛋将不可能在任一盒子中出现!

以上只不过是把突然演习悖论改换了一下表述而已,但是,“意料之外的鸡蛋”问题却有一点特殊的地方——之前我分析突然演习悖论时,曾指出,即便过了6天平静无事的日子,仍不足以断定演习必将在第七天举行。因为p推不出□p,所以并不与公告中的┐□p矛盾。

然而,在这里,当乙将鸡蛋藏好后,鸡蛋是否确实被放在某个盒子中以及它具体在哪一个盒子中都已经被确定了下来!比如说,乙可以允许甲做一个验证——称一下这10个盒子的总重量(不允许分别称),而当甲发现10个盒子的总重量正相当于10个空盒子加上一个鸡蛋的重量时,便足以断定这10个盒子中一定有一个盒子中有鸡蛋了!也就是说,在这里甲确实能够预先“知道”“有一个盒子里放了鸡蛋”。也就是说,并不需要什么固执的轻信,当打开了9个空盒时,即便甲已经不再相信乙所说的话,但只要相信天平称,此时就足以得出了“□p”,这切切实实地与“┐□p”矛盾了!所以,似乎在这个时候,如果乙不幸恰好把鸡蛋放在了第10个盒子里,他的预言将注定失败!

看来,对于这个加强版的悖论,仅把焦点集中在最后一个盒子是难以理清问题了。那么,第二步的推理,也就是第9个盒子的情况是怎样的呢?

重新定义此时的逻辑符号:令p表示“鸡蛋在9号盒子”,q表示“鸡蛋在10号盒子”,□a表示甲在打开第9号盒子之前“知道”;□表示甲在打开9号盒子后还没打开10号盒子时“知道”。

于是,由于天平称所提供的确凿证据,当打开了8个空盒子后,甲确知鸡蛋不是在9号盒子就是在10号盒子里,也就是“□a(┐p→q)”(而且□a(p→┐q))为真。当然,□b(┐p→q)自然也是真的。

乙的预言可表达为“┐□ap∧┐□bq”。

由于□b(┐p→q)→(□b┐p→□bq)正是公理K得到的,又因为□b(┐p→q),得到□b┐p→□bq。而若假定q真,则p假,没有什么理由否认此时□b┐p为真。于是便得到□bq,这便与乙的预言“┐□ap∧┐□bq”相矛盾了。

若乙的预言为真,则“假定q真”不成立,则q为假,即p为真,于是……

问题在于,我们能够从“若乙的预言为真则p为真”,即“┐□ap∧┐□bq→p”,或者说从“□a(┐□ap∧┐□bq→p)”中,得到“□ap”吗?看来是这里出了问题!

之前提到,我们把“□a”理解为主体确信的事(公理)或者基于主体经过无需前设的推理得到的结论(定理),而此处要推出“□ap”还要求有“□a(┐□ap∧┐□bq)”才行。也就是说,问题还是在于甲始终缺乏足够的理由确信乙的预言为真!即便说在这个改进后的悖论中,甲可以确信“突然演习”问题中的第一条公告,即“下周将有一次演习”,也就是在此问题中确知“某个盒子里有个鸡蛋”,但还是不足以确信乙的预言一定会“成功”。

事实上,在只剩两个盒子时,若假定说甲确实可以断定鸡蛋在9号盒子里,那么乙的预言便失败了,然而同样地,如果乙将鸡蛋放在10号盒子里,结果大不了也是预言失败,既然同样都是失败,那么为何乙不可能把鸡蛋放在10号盒子里呢?那样的话,甲所断定的“鸡蛋在9号盒子里”这一论断便是错误的,矛盾!——这只是个矛盾,而不是悖论,因为当推理过程中出现矛盾时意味着我们需要否定某一项前设,那么也就是说“若假定说甲确实可以断定鸡蛋在9号盒子里”这一前设是错误的,结论是甲不能断定鸡蛋在9号盒子里。

虽然说这里必须考虑最后两个盒子的情形,但是甲的推理仍然是从第一步开始就出错了,也就是说,固然当甲依次打开9个空盒子后能够断定鸡蛋在10号盒子中,但是在尚未打开前面的盒子时,仍然并不足以断定鸡蛋不在10号盒子中。

那么如果站在乙的立场上考虑呢?如果甲、乙都是“足够聪明的人”,乙究竟有没有可能将鸡蛋放在10号盒子呢?

提到“足够聪明”,不由令人联想到关于“最佳策略”以及“博弈论”方面的数学问题。或许在数学中转转将给关于这一悖论的思考带来某些启发。

在数学问题中,我们经常能够看到“如果两人都是足够聪明的”并且“两人都知道对方是足够聪明的”这样的条件。例如最著名的“囚徒困境”问题即是如此,这些问题正是基于对对方将采取的推理的预期进行推理和决定的典型案例。另一个较复杂的题目例如“海盗分赃问题”——解答这些问题的推理过程都要求以“对方一定会采取最佳策略”为条件,它们都有确定的答案,人们通常相信对这些数学问题的解答是严密而合理的。这里可以看到,“以对对方行为的预期为条件”乃至进行的推理不一定是不合理的。

但是,在许多时候,博弈的一方并不能有一个确定的“最佳策略”,博弈双方的选择将是无法确定的,用数学术语来说,就是“不存在鞍点”的博弈问题。这类博弈中最寻常的正是“剪刀—石头—布”,甲、乙两人都确信对方将尽力采取“最佳策略”,然而事实是这一“最佳策略”并不是某一项特定的选择,如果说对甲来说出“石头”是最佳策略,那么只要乙一直出“布”好了。所以,对甲来说,所谓“最佳策略”正是以恰好各为三分之一的几率选择出剪刀、石头或布。

下面再看一个稍复杂些的博弈问题——甲、乙两人约定同时选择说“正”或“反”中的一个字,如果都选择“正”,则甲输3元;如果都选择“反”,则甲输1元;如果双方选择不同,则乙输2元。(参考《机会的数学原理》,第126~127页)

乍看到这一规则,可能会想:“这个游戏是不公平的,因为当乙选择反时结果对乙有利,于是他每次都会选择反,这样甲每次只能赢1元钱或者输2元钱。”但是转念一想,既然甲知道乙是个聪明人,甲就能预期乙将会选择反,那甲也可以每次都选择反,那么每次都是甲赢……

以上的推理显然是错误的,但是乙确实有利,也确实有一条“最佳策略”,那就是“以3/8的概率选择正”!这样,乙平均每局可以赢到1/8元钱。即便聪明的甲能够知道乙所采取的策略,还是必输无疑。

“意料之外的鸡蛋”也可以被改写成一道博弈问题:

先考虑两个盒子的情形,乙将一个鸡蛋藏在其中的一个盒子中后对甲说“你可以选择打开第一个盒子看看,也可以选择‘猜测’鸡蛋在下一个盒子里,你只有一次猜测机会。如果你在打开了藏有鸡蛋的盒子之前还没有进行猜测,或者你猜错了,则我将赢得1块,若你猜对,则钱归你。”

那么,甲和乙谁的赢面更大?他们各自的最佳策略是什么呢?

这一游戏对甲而言情形如下表所示:


 

乙把鸡蛋放在第一个盒子

乙把鸡蛋放在第二个盒子中

甲选择打开第一个盒子看看

-1

1

甲猜测鸡蛋在第一个盒子中

1

-1

此时问题就如剪刀石头布那般简单,乙的最佳策略是以50%的概率决定将鸡蛋放在某个盒子中,而甲的最佳策略也是以50%的概率决定是否打开第一个盒子看,而赢面则是双方五五开。

下面来考虑三个盒子的情形,乙首先有两种选择——把鸡蛋放在或者不放在第一个盒子里,而甲也可以选择先打开第一个盒子或者直接猜鸡蛋在第一个盒子里。如果乙选择把鸡蛋放在第一个盒子里或者甲选择直接猜,那么游戏在第一轮就必将分出胜负,而如果乙没有把鸡蛋放在第一个盒子里同时甲又打开了第一个盒子,那么情形就回到了两个盒子时的状态,根据之前的分析,在这种状态下双方赢面均等。于是情形如下表:


 

乙把鸡蛋放在第一个盒子

乙没有把鸡蛋放在第一个盒子中

甲选择打开第一个盒子看看

-1

0

甲猜测鸡蛋在第一个盒子中

1

-1

看上去,乙选择不将鸡蛋放在第一个盒子中将是明显吃亏的,而甲选择打开第一个盒子看也是明显不利的,于是聪明的乙就一定会选择把鸡蛋放在第一个盒子里从而被聪明的甲猜中?显然不是。与之前那个“正—反”博弈类似,乙此时的最佳策略是以1/3的概率将鸡蛋放在第一个盒子里,而剩下的2/3则回过头去采取二个盒子时的最佳策略即50%,也就是说乙的最佳策略正是如剪刀石头布游戏那样,以平均的概率将鸡蛋放在某一个盒子中即可,此时无论是甲选择打开第一个盒子1/3×-1+2/3×0),还是直接猜(1/3×1+2/3×-1),他都将平均输掉0.333元!

用归纳法很容易推广到N个盒子时的情形,


 

乙把鸡蛋放在第一个盒子

乙没有把鸡蛋放在第一个盒子中

甲选择打开第一个盒子看看

-1

2/N 1

甲猜测鸡蛋在第一个盒子中

1

-1

结论是乙的最佳策略就是在N个盒子中随机地选择一个放下鸡蛋,而甲输的钱总不会少于12/N!允许甲依次打开盒子与让他直接蒙一个没什么两样!

以上的这个博弈游戏对于分析我们的“悖论”有什么启示呢?

我们发现,在“意料之外的鸡蛋”悖论中,虽然情形很不相同,但是在甲的推理中也同样包含有一个不合理的假定——那就是假设乙是“足够聪明”而且“会尽力维护预言”的话,他就一定会或一定不会不会做某项选择。

考虑如下明显错误的推理:“我们玩正—反游戏,因为你是足够聪明的、而且尽力想赢我,所以你一定会选择最佳的策略,也就是选择反,那么我便会也选择反来赢你,由于你足够聪明可以推测到我会选择反,那么你便会选择正以赢我,于是我也该选择正,于是你又会选择反……”

在“意料之外的鸡蛋”中,乙同样也是“足够聪明”的,但他不是尽力想要赢钱,而是尽力想要使自己的预言生效。但是甲的推理中同样出错的是:“如果乙尽力想赢又足够聪明,就一定不会把鸡蛋放在第X个盒子里……”但我们已经知道,“最佳策略”并不一定是某个固定的选择,乙为了维护自己的预言,只要随手把鸡蛋放进某个盒子里就行了。

但是,问题仍未消解,因为对于足够聪明的乙,一定知道如果把鸡蛋放在最后一个盒子中是必败无疑的,这与博弈问题中“较可能输”的选择不同,一旦选择把鸡蛋放在最后,则没有什么理由能够阻止甲在打开9个盒子后基于天平称的证据“知道”鸡蛋一定在最后一个盒子中。那么在乙的“最佳策略”中,即便是不确定的随机选择,但是放在10号盒子这一选择的最佳概率应是0%!因为乙不止是要尽力使赢面增大,而是理应希望也确实能够保证必胜的,比方说把鸡蛋放在第2个盒子里……但是,甲是否有权通过“我聪明的乙选择把鸡蛋放在10号盒子里的概率是0%”而事先确知鸡蛋不会在10号盒子里呢?一旦在最后一个盒子上有所动摇,局面又将陷于混乱,这一步是不可轻易退让的。

如何坚守“甲的推理从第一步起就出了错”这一阵地,我还没有最终的方案。或许我们可以认为:即便“知道乙会选择在最后一个盒子中放鸡蛋的概率是0%”,仍并未“知道乙没有在最后一个盒子里放鸡蛋”。事实上,在概率论中,“零概率”并不意味着“不可能”,概率为1的事件也并不是“必然事件”!例如随机任取一个自然数,由于自然数是无限的,于是取到任意一个特定的自然数的“概率”都是零,然而我们并不能说“1不可能被取到”,如果能那样说,我们便也能依次断定“2不能被取到”、“3不能被取到”直至无穷,因此,应当认为由“1被取到的概率为零”不能推断出“被取到的不是1。于是,乙可以选择这样的策略:“随机选取一个自然数,如果是142857,就把鸡蛋放在10号盒子,否则就把蛋放在1号盒子”,这样的话,按照数学上的说法,甲无法证明他“知道鸡蛋不在10号盒子里”,尽管他非常确信这一点。当然,这里的问题是“随机选取一个自然数”是否可能做到,但即便真的可以如此,这一数学花招似乎也只是在巧妙地躲避问题。

这一悖论的焦点始终在于所谓“知道”(确信、断定)究竟是什么意思,下面的一个语句同样尖锐地反映了这种悖论:

“你不相信此语句”、

2006525

也许对“知道逻辑”的规则进行某种变更可以消解掉这些悖论,例如,使得从“□α├⊥”推不出“├ ┐□α”,同时也就是说从“┐□α├⊥”推不出“□α”,那样也能避免这些悖论。这也是与现实较符合的,因为在现实中,人们即便在某条信念或某个事实已然与自己所认可的其他事实或信念相矛盾的情况下仍然“坚信”或者“知道”此事。然而逻辑要求严密,从“┐□α├⊥”推不出“□α”的合理的逻辑体系如何建构是个问题。在此之前,利用“零概率”≠“不可能”之狡辩或许也能在一定程度上说明问题。

2006525


 

注意到以上我的讨论中一律将“意料之外”改成“事先不能确知”,因为“意外”一词实在是相当模糊的,如果乙的预言说的是给你“意外”,那就是有歧义的。例如,对于甲来说,究竟什么事是“意外”的?例如,翻一枚硬币恰好得到正面这一事件是否构成“意外”?如果说甲认为这种随机时间任意出现哪一个结果都不是意外的,那么,无论在哪一天行刑,或者无论在哪一个盒子里看到鸡蛋,对甲而言都不是意外了,这样理解的话,乙的预言则不能必胜。于是,我们考察的是“事先不能确知”这种较严格的表述。

2006525

但是,对悖论的进一步改写又将使以上的讨论实效。例如,乙宣称:“你不可能事先‘十分确信’鸡蛋将在下一个盒子中出现。”——所谓“十分确信”,好比说,我们“十分确信”某两个不同的人的基因不会完全一样。那么,乙的这句断言本身是否可信呢?直觉告诉我们这句话确实值得“十分确信”——只要,比如说,乙把鸡蛋随手丢在第一个、第二个或第三个盒子里头。同时,我们又“十分确信”乙“是一个理智的人,会尽全力保证自己的预言成功”。那么,我们是否“十分确信”乙“不可能把鸡蛋放在第10个盒子里”呢?似乎这也是值得确信的。于是,第9个盒子又如何呢……

换换思路或许会有益处。

比较下面两个问题:

一、一道小学数学奥林匹克题目:


甲、乙、丙三位同学站成一列,甲在最前。他们每人都戴着一顶帽子,而站在靠后的人只能看到前面几人的帽子,而看不到自己的以及身后人的帽子。已知:他们所戴的三顶帽子是从两顶红帽子、一顶黑帽子、一顶白帽子之中拿出来的。老师先问排在最后的丙说:“你自己的帽子是什么颜色的?”丙答道:“不知道。”老师接着问乙是否知道自己帽子的颜色,乙也说“不知道”。最后老师问甲,甲却说“我知道!”请问甲是怎样知道自己帽子的颜色的?

这道题的推理十分简单:因为如果甲、乙的帽子是一黑一白,则丙就能知道自己戴的帽子只能是红色的,因此,甲、乙中至少有一人戴红帽子——乙听到丙的回答后便能知道这一点,但是乙还是不知道自己帽子的颜色,也就是说甲的帽子不可能是黑或白的,因为若如此,乙便能知道自己的帽子一定是红色的了。因此,在听完乙、丙两人的回答后,甲就知道自己的帽子一定是红色的了!

这道问题可以改写成如下形式:

甲乙两人分别从三个帽子中拿走一个,其中1号和2号帽子是红色的,3号帽子是黑色的,两人都只能看自己摸到的帽子;老师问:“你们知道对方的帽子是什么颜色的吗?”两人齐声回答:“不知道!”稍过片刻,两人又齐声回答:“知道了!”——以上的叙述没有悖论,易知:两人拿到的帽子都是红色的。

最后再改写一下,或许能为下面即将讨论的悖论给些启发:

甲、乙两人分别从1234四个帽子中摸走一个,甲选了2,乙选了3。丙对甲、乙两人说:“我下面的这句论断是对的吧——你们都不能推测出谁的号码大!”两人齐声回答:“是啊。”随即又齐声回答:“不是!”这里的甲、乙的推理思路是很清楚的:甲会想,既然乙不能推断谁的大,那么它选的就不会是1号或4号,而我选走了2号,所以乙一定是3号。……问题是,丙的论断究竟是对还是不对呢?当丙不将论断告诉甲、乙之前,该论断是对的,但一旦告诉了甲、乙,便不对了!这是一个新型悖论?

二、“突然演习悖论”的又一变种(即霍利斯悖论)


火车上的两个人甲和乙各自选一个数,然后通过耳语告诉丙。丙起身宣布:“我到站了,你们两个告诉我的是两个不同的正整数,你们中的任何一个都无法推出谁选的数大。”然后丙下车了。

甲和乙在沉默中继续旅程:甲的选数是157,他想:“显然乙选的不是1,如果他选的是1,他就会知道我选的数比他大,因为丙刚说过我们两个选的数不同。同样明显的是,乙也知道我没有选1,没错,1可以排除。我们两个都不会选,最小的有可能的数是2,但是如果乙选的是2,他应当知道我选的不是2,于是2也被排除……”

如果他的旅途足够长,他可以排除每一个数。(《推理的迷宫》第132页)

用以上那道数学题得到的启示——或许丙的论断原先确实是对的,但当他把该论断告诉甲、乙后,由于该论断本身成为了甲,乙两人进行推理的新信息,情况发生了变化!

在之前的数学题中,新信息的加入使得局面立刻变得明朗,当然,完全也可以设计出一些更复杂的数学难题,例如需要连续宣称多次:“你们没有人能推测出来”——“你们还是没有人能推测出来”……“你们仍旧没有人推测出来”——“唔!有人推测出来了!”

每一次宣称“你们没有人能推测出”,都是加入了一条新信息,有可能直到加入了这样N条“重复的”信息后,局面才变得明朗——这类数学题也有不少,不赘述。

也就是说,这些加入的新信息的效力是“一次性”的,只能用来做一轮的推理,即用来对此信息被公布之前的情形的分析,而在人们由此展开分析的同时,局面已有所改变。

在霍利斯悖论中,问题是否也是如此呢?甲基于丙所给予的信息,确实有权推测出乙选的不是1,然而在后续的推理中继续运用丙的这条断言是否还是合法的呢?

不过,霍利斯悖论的情形并不那么简单,如果说丙所给出的宣告是“你们‘永远’都推测不出谁的数大”,那又如何呢?也就是说,这要求丙把其宣称说得更严格些——即A=“不仅你们现在无法推测出谁的数大;而且即便你们知道了‘此信息’,仍然推测不出谁的数大!”

但是,以上的这种宣称方式仍是不太清楚的。问题在于,“此信息”指什么?——如果指的仅仅是前半句话X,即“你们现在无法推测出谁的数大”,那么,由于我们认为丙所提供的整条信息A,它的效用总是“一次性”的,因为将A告知甲、乙的同时局面发生了变化。但在这里A中包含了一个“嵌套”,于是它相当于可以“用两次”。也就是类似于说“你们没有人能推测出来”——“你们还是没有人能推测出来”。以此条件,甲确实有权将乙不可能选的数推算到2!但是,如果丙所给的信息只包含有一层“嵌套”的话,那么甲籍此展开的推理也只能到2为止了!如果说要使得甲有权凭籍丙所给的条件无止境地推理下去的话,则要求丙的信息包含无限的“嵌套”,也就是说,在A中的“此信息”要求指称A本身!

也就是说,只有当A本身包含有“自指”时,悖论才产生。此时,我们把霍利斯悖论与集合论悖论、说谎者悖论联系到了一起。产生这些悖论的共同问题在于命题中出现了“自指”。

2006527

虽然霍利斯悖论号称为“突然演习悖论”的变种,但总还是略有区别的。我们沿刚才的思路,回过头来分析“意料之外的鸡蛋”问题。

我们知道,一个断言的提出将可能改变该断言本身的真假。这一结论在日常生活中毫不陌生,例如我宣称:“你一定不知道我是北大学生!”——这句断言或许是对的,你确实事先并不知道,但是听到我的话后,你却知道了。又比如说有名的股票分析师宣称:“此股票将上涨”——如果这位分析师只是在家里自言自语,或许他的论断将是错的,然而如果他是以预测专家的身份在电视上向公众断言如此,那么更多的信众便会去买那种股票,股票将确确实实地上涨——分析师的预测究竟是准还是不准呢?

总而言之,将一个断言说出口,完全可能使原先正确的断言变为错的,或使原先错误的断言变成对,原因是断言的公布使断言自身也成了总情势的一个新的部分。

为了更好地与鸡蛋问题相对照,先将之前的数学题做进一步的改写成一则新式悖论:

甲、乙两人从八个鸡蛋中分别摸出一个,鸡蛋上从18被写上了标号,两人只能看到自己手中的号码,甲的号码是3,乙的是5。丙问他们:“谁的号码更大?”两人齐声答道:“不知道!”过了一会,丙又问道:“谁的号码更大?”,两人还是齐声答道:“不知道!”此刻,甲已经知道了答案。

可以把由丙提问由甲乙齐声回答的模式改成直接由丙下断言,因为根据正确的推理完全可以预期出甲乙两人的回答。那么,情形就是——丙对两人说:“你们都不知道谁的号码更大!”……“听了我刚才的话后,你们还是不知道谁的号码更大!”

在此时,甲就已经知道是乙的号码更大了。如果此时是有个丁对戊说:“甲和乙还是不知道谁的号码大!”那么戊便会认为丁说错了,明明甲已经得到了正确的判断。然而,如果此时仍然是丙对甲、乙说:“听了我刚才的两句话后,你们还是不知道谁的号码大!”那此时甲恐怕要犯迷糊了——“明明我已经根据前两句话推测出了我的号码比乙小,怎么又说我不知道了呢?如果丙的第三句话是对的,那么前两句话就有错;如果前两句话没错,那么第三句话就是错的;但是我却无法判断它的哪句话是错的,所以……我将被迫承认丙的三句话都是对的?!因为我没有办法判断它的哪一句话是错的,从而确实从来没有真正知道谁的更大……”

正当甲犯着迷糊时,乙的推理仍然正常地继续着,在丙的三次断言下,乙已经依次把甲是182736排除了,由于乙手上的是4,所以乙推测出甲手中的是5。不幸的是,他的推理是错误的。

接着,丙说了第四句话:“听了我刚才的三句话后,你们还是没有人知道谁的号码大!”对于此时已晕头转向的甲与已下了错误判断的乙而言,丙的第四句话确实是正确的,乙也开始迷糊起来……

在这里,丙的公告并不需要无限的嵌套,只是连续说了这四句话,就已经把两人搞晕了。


 

……我现在也已经晕了,让我先休息两天再想,我感觉这个新式悖论有点启发,但恐怕还是不容易想清楚,悖论论文真是难写得很……

2006528


 


 

突然演习悖论的抽象形式:

1、    以下全是真话

2、    以下全是真话

3、    以下全是真话

4、    以下全是真话

5、    以下全是真话

6、    以下全是真话

7、    以下全是真话

8、    以下全是真话

9、    以上至少有一句假话

简化的变种:

1、  此框内有假话

2、  此框内有假话

3、  此框内有假话

……

最简单的:“这句话是假话”


 


 


 

参考书目



 

关于 古雴

胡翌霖,清华大学科学史系助理教授。本站文章在未注明转载的情况下均为我的原创文章。原则上允许任何媒体引用和转载,但必须注明作者并标注出处(原文链接),详情参考版权说明。本站为非营利性个人网站,欢迎比特币打赏:1YiLinDDwvBLT19CTUsNHdiQhXBENwURb

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注