用Excel展演浑沌!

Excel展演浑沌!

用于科普,借助Excel演示浑沌的好处是显而易见的:首先,Excel是一个“家常”的软件,几乎每台电脑上都有,不需要使用者专门下载分形软件,随手就来。而且,Excel的操作是傻瓜式的,不需要任何编程技巧。同时,Excel生成图形非常方便,转换为图片、Word文档、PPT、网页文件等都非常便捷。对于初次接触分形的人来说,用Excel亲手操作显然是最直接的体验方式。

在绘制较简单的图样时,Excel的操作相当便捷。以“国王映射”的最初形式为例:

x_(n+1)=sin(by_n)+csin(bx_n),

y_(n+1)=sin(ax_n)+dsin(ay_n),

先在Excel空白工作表的第一行的单元格中依次键入a、b、c、d、x0、y0的数值,例如在A1、B1、C1、D1、E1、F1中分别填入-1,3,0.7,0.7,0.1,0.1

在第二行前四个单元格,也就是对应常数的下方依次键入“=A1”、“=B1”、“=C1”、“=D1”,这样做的好处是方便经常改换常数。

在第二行的后两个单元格,即E2、F2中,填入x_n和y_n的第一次递推公式:

即在E2中键入“=SIN(B2*F1)+C2*SIN(B2*E1)”——注意其中B2、C2分别等于b、c。

在F2中键入“=SIN(A2*E1)+D2*SIN(A2*F1)”。

然后选中第二行的6个单元格,将鼠标移至选择框右下角,当鼠标指针变为十字形时按下拖曳,一直往正下方拖动,可拖至10000行甚至更多,至多可达65536行。拖动的速度是很快的,完成后按ctrl+Home可以方便地回到回到第一行。

选中E、F两列,点击常用工具栏上“图表向导”按钮,或“插入”菜单——“图表”。

选择“XY散点图”,直接Enter或点“完成”即可!

生成的默认图表视觉效果不够理想,拖动图表边框将其拉大(不妨拉到数百行那么长),然后改变窗口的显示比例(比如在点选任一单元格时按住ctrl同时滑动鼠标滚轮),调节到适合状态即可。

在图表中点击右键,选择“图表选项”,可以去除不必要的网格、X轴、Y轴、图例等。双击背景可去除背景颜色,或选择合适的颜色;双击任一数据点可以调整数据点的大小、形状和颜色。

图样即绘制完毕!

接下来可调整常数a、b、c、d和x、y的初始值以观察图案的变化,只需要在第一行操作即可。

也就是说一旦改变了第一行相应的a、b、c、d、x0、y0的数值,整张数据表以及生成的图案就会即时改变!

下面附上的是我用上述方法生成的图样(共30000余点)

clip_image002

修改各常数可得到完全不同的图样!比如将第一行改为-1.05,2.29,1,-1,0.1,0.1,得到下图:

clip_image004

2006年4月28日

用Excel展演浑沌增补:变形金刚&三翅鹰

星定 发表于 2006-04-28 20:48:55

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根据原始文本重新录入

科哲作业原始版本:

受到陈星群同学的启发领悟到了用Excel演示混沌的技巧,非常好用,特尝试之~

他做了第一题,我便做第二题:外加做了一些国王映射等图形。

Xn+1=μXn(1-Xn

当μ约在(0,0.75)之间,取任意初值,得到周期1。

下仅举μ=0.7,X1=0.01时图像为例:

clip_image002

当μ约在(0.75,1.25)之间,得到周期2。

下举μ=0.751,X1=0.01时图像为例:

clip_image004

再举μ=1.2,X1=0.01时图像为例:

clip_image006

当μ约在(1.25,1.37)之间,得到周期4。

下举μ=1.3,X1=0.01时图像为例:

clip_image008

当μ约在(1.37,1.4)之间,周期开始变得复杂起来。

下举μ=1.4,X1=0.01时图像为例:

clip_image010

当μ约在(1.4,2)之间时,出现混沌!

下举μ=2,X1=0.01时图像为例——以下分别为取到X100、X10000时的视图:

clip_image012

clip_image014

另外,使用Excel,只要同时列两组递归数列,使用“无数据点平滑散点图”,也可以画出二维的混沌图来,例如将本题的递归公式错开一位写,即点An=(Xn,Xn+1),便可得到形如下图的图样:

clip_image016

依此法应该可以与使用编程造出更复杂的花样来。

clip_image018

clip_image020

下图由

Xn+1=1-aXn2+Yn,Yn+1=bXn,X1=Y1=1,a=0.1,b=1生成

clip_image022

下图由

Xn+1=1-aXn2+Yn,Yn+1=bXn,X1=Y1=0.5,a=0.134,b=1生成

clip_image024

下图为Xn+1=sin(bYn)+csin(bXn),,Yn+1=sin(aXn)+dsin(aYn),a=-1.5,b=2.6,c=0.86,d=0.75,X1=Y1=0.5的图形(取10000点):

clip_image026

下图为Xn+1=sin(bYn)+csin(bXn),,Yn+1=sin(aXn)+dsin(aYn),a=-1,b=3,c=0.7,d=0.7,X1=Y1=0.1的图形(取10000点):

clip_image028

Xn+1=sin(aYn)-zcos(bX n),

Yn+1=zsin(cXn)-cos(dY n),

Zn+1=esinXn.

其中a=2,b=3.281,c=-0.5975,e=0.6666,X0=1.41,Y0=2,Z0=1,时(X、Y)的花样(10000点)

clip_image030

 

 

用Excel展演浑沌!(加强版)

用于科普,借助Excel演示浑沌的好处是显而易见的:首先,Excel是一个“家常”的软件,几乎每台电脑上都有,不需要使用者专门下载分形软件,随手就来。而且,Excel的操作是傻瓜式的,不需要任何编程技巧。同时,Excel生成图形非常方便,转换为图片、Word文档、PPT、网页文件等都非常便捷。对于初次接触分形的人来说,用Excel亲手操作显然是最直接的体验方式。

在绘制较简单的图样时,Excel的操作相当便捷。以“国王映射”的最初形式为例:

x_(n+1)=sin(by_n)+csin(bx_n),

y_(n+1)=sin(ax_n)+dsin(ay_n),

先在Excel空白工作表的第一行的单元格中依次键入a、b、c、d、x0、y0的数值,例如在A1、B1、C1、D1、E1、F1中分别填入-1,3,0.7,0.7,0.1,0.1

在第二行前四个单元格,也就是对应常数的下方依次键入“=A1”、“=B1”、“=C1”、“=D1”,这样做的好处是方便经常改换常数。

在第二行的后两个单元格,即E2、F2中,填入x_n和y_n的第一次递推公式:

即在E2中键入“=SIN(B2*F1)+C2*SIN(B2*E1)”——注意其中B2、C2分别等于b、c。

在F2中键入“=SIN(A2*E1)+D2*SIN(A2*F1)”。

然后选中第二行的6个单元格,将鼠标移至选择框右下角,当鼠标指针变为十字形时按下拖曳,一直往正下方拖动,可拖至10000行甚至更多,至多可达65536行(但绘图时最多只能用到32000个数据点)。拖动的速度是很快的,完成后按ctrl+Home可以方便地回到回到第一行。

选中E、F两列,点击常用工具栏上“图表向导”按钮,或“插入”菜单——“图表”。

选择“XY散点图”,直接Enter或点“完成”即可!

生成的默认图表视觉效果不够理想,拖动图表边框将其拉大(不妨拉到数百行那么长),然后改变窗口的显示比例(比如在点选任一单元格时按住ctrl同时滑动鼠标滚轮),调节到适合状态即可。

在图表中点击右键,选择“图表选项”,可以去除不必要的网格、X轴、Y轴、图例等。双击背景可去除背景颜色,或选择合适的颜色;双击任一数据点可以调整数据点的大小、形状和颜色。

图样即绘制完毕!

接下来可调整常数a、b、c、d和x、y的初始值以观察图案的变化,只需要在第一行操作即可。

也就是说一旦改变了第一行相应的a、b、c、d、x0、y0的数值,整张数据表以及生成的图案就会即时改变!

下面附上的是我用上述方法生成的图样(共30000余点)

2006年4月28日

 

clip_image004[4]

修改各常数可得到完全不同的图样!比如将第一行改为-1.05,2.29,1,-1,0.1,0.1,得到下图:

clip_image006[4]

 

再看一个非常有趣的图样——ZZSUC映射(但我做不出理想中的图样,可能是弄错了,不过我搞出的东西也蛮好玩的~~):

x_(n+1)=(x_n+Ksiny_n)cos(2π/q)+y_nsin(2π/q)

y_(n+1)=-(x_n+Ksiny_n)sin(2π/q)+y_ncos(2π/q)

在第一行依次输入K、X0、Y0、q的初始值。

在第二行依次输入“=A1”、“=(B1+A2*SIN(C1))*COS(2*PI()/D2)+ C1*SIN(2*PI()/D2)”、“=(B1+A2*SIN(C1))*SIN(2*PI()/D2)+ C1*COS(2*PI()/D2)”、“=D1”,按前述方法,做B、C两列的图样。

我们取X0=-1,Y0=1。

q为3至6的整数。

注意生成的图形对K极为敏感。下依次举q=4时,K为1.667、1.667000000001、1.667000000002、2.05这四种情况的图样(10000点):

clip_image010[4]clip_image012[4]

clip_image014[4] clip_image016[4]

我们看到,当不断调整K时,q=4的图案简直像玩“变形金刚”那样,千变万化——第4幅图的形状简直就象变形金刚!!。不断调整参数值那个“变形金刚”还会变飞机呢(2.0499999999)!

clip_image018clip_image020[4]

但是需要指出的是,这里看到的形状变化在某种意义上只是个假象,因为其形状与所取的点的个数直接有关,似乎取的点越多,这个映射是会延展直整个平面的。下面对那个变形金刚中的后5000个数据点用另一种颜色进行染色(这也是用Excel做的,只是多加了一行数据让它在5000行后“=Bi”

clip_image022[4]

最后做传说中的“三翅鹰映射”:

我在第一行A1~G1依次输入:

1,1,-0.6,0.95,=2-2*C1,=C1*A1+E1*A1*A1/(1+A1*A1),=A1

在第二行A2~H2依次输入:

=D1*B1+F1,=F2-G1,=C1,=D1,=2-2*C2,=C1*A2+E1*H2/(1+H2),=A2,=A2*A2

然后依前法拖曳第2行至上万行,对A、B两列做图表:

第一行的前两个单元格分别为X和Y的初值,对之调整几乎没有影响,而C1、D1两格为常数,对之调整将剧烈影响图样。

下面给出三翅鹰映射图样及其若干变种:

clip_image024[4]clip_image036clip_image038clip_image040clip_image042

关于 古雴

胡翌霖,清华大学科学史系助理教授。本站文章在未注明转载的情况下均为我的原创文章。原则上允许任何媒体引用和转载,但必须注明作者并标注出处(原文链接),详情参考版权说明。本站为非营利性个人网站,欢迎比特币打赏:1YiLinDDwvBLT19CTUsNHdiQhXBENwURb

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